A matemática do cartão de cidadão (partes I e II)

06-06-2014 13:53

 

 

    Há mais de uma década, o estado português acrescentou um algarismo suplementar ao número do Bilhete de Identidade. O motivo dessa alteração não foi explicado ao cidadão comum. Se a isso juntarmos o facto de o algarismo aparecer destacado dentro de um quadrado, não é difícil perceber que essa alteração despertou muita curiosidade. Rapidamente surgiram alguns mitos, dos quais o mais comum afirma que esse algarismo representa o número de pessoas em Portugal que têm exatamente com o mesmo nome do portador do BI. Se prestarmos um pouco de atenção a esta afirmação, logo nos apercebermos que não pode ser verdadeira. Um dos motivos prende-se com o facto de o algarismo suplementar variar apenas entre 0 e 9. Por outro lado, é fácil encontrar exemplos de pessoas com nomes invulgares, cujo algarismo suplementar do BI é diferente de 0.

 

    Será, então, este algarismo atribuído ao acaso? O leitor que já possua Cartão de Cidadão poderá constatar que o algarismo suplementar do BI continua a marcar presença no novo documento: surge à frente do antigo número do BI, designado por número de identificação civil, imediatamente antes de duas letras. Como é o mesmo algarismo, algum significado há-de ter.

 

    Na verdade, o algarismo suplementar não é assim tão misterioso. É simplesmente um algarismo de controlo, que tem como objetivo detetar erros que possam ocorrer na escrita ou leitura do número do BI. Apresente-se como exemplo o número 6235008 0, em que 0 é o algarismo suplementar. Para se verificar se este número está correto, procede-se da seguinte forma: fazendo a leitura do número da direita para a esquerda (porque se deve começar pelo algarismo suplementar), multiplicam-se os algarismos sucessivamente por 1, 2, 3, 4, …, e somam-se os resultados. A soma de teste obtida deverá ser um múltiplo de 11 (11, 22=2x11, 33=3x11,…). Dito por outras palavras: tem de se verificar “onzes fora nada”. Para o exemplo apresentado, tem-se S=1x0+2x8+3x0+4x0+5x5+6x3+7x2+8x6=121, que é um múltiplo de 11, uma vez que 121=11x11. Se o resultado final não for um múltiplo de 11, significa que ocorreu um erro e que o número não está corretamente escrito.

 

    À primeira vista, este sistema é em tudo semelhante a outros sistemas de identificação modulares, como é o caso dos códigos de barras, dos números de série das notas de Euro e dos números dos cartões VISA. Contudo, as aparências por vezes iludem! Se já tentou calcular a soma de teste e se o algarismo suplementar do seu BI é 0, não se assuste se as contas não baterem certo (se o resultado não for um múltiplo de 11). Esta fragilidade foi descoberta por Jorge Picado, meu antigo professor da Universidade de Coimbra, e retratada no livro de Jorge Buescu, professor da Universidade de Lisboa, intitulado O mistério do Bilhete de Identidade e outras histórias.

 

    Como o resto da divisão de um número por 11 pode variar entre 0 e 10, também o algarismo de controlo pode assumir qualquer um desses valores. Surge então um problema quando o algarismo de controlo é 10, isto porque só há espaço para colocar um dígito no lugar destinado ao algarismo suplementar do BI. Este problema foi ultrapassado pelos criadores do ISBN-10 (sistema utilizado para catalogar livros e que apresenta o mesmo algoritmo de cálculo) de uma forma simples e elegante: quando o algarismo de controlo é 10, coloca-se no seu lugar a letra X, que representa o número 10 no sistema de numeração romano. Contudo, os responsáveis pela criação do algarismo suplementar do BI português, provavelmente por falta de competências matemáticas, optaram nessa situação por substituir 10 por… 0! Ou seja, em metade dos casos em que o algarismo suplementar é impresso como 0, este verdadeiramente deve ser 10. Assim, se o leitor tem 0 como algarismo suplementar e se as suas contas não estão a produzir um múltiplo de 11, substitua o 0 por 10. A soma de teste será já um múltiplo de 11!

 

    Como foi referido, o algarismo suplementar do BI também está presente no Cartão de Cidadão. Portanto, o bug mantém-se! Será que foi tomada alguma medida adicional para evitar erros de escrita? Sobre este assunto falaremos já de seguida…

 

 

    Já vimos que o algarismo suplementar do Bilhete de Identidade não é assim tão misterioso. É simplesmente um algarismo de controlo que tem como objetivo detetar erros que possam ocorrer na escrita ou leitura do número do BI. Vimos também que este sistema tem um bug. Quando o algarismo suplementar é impresso como 0, este verdadeiramente pode ser 0 ou 10.

 

    Esta dualidade de significado numérico do algarismo suplementar do BI tem consequências claras: muitos erros de escrita podem não ser detetados. Esta situação não é muito alarmante no caso do número do BI, uma vez que raramente o algarismo suplementar é utilizado no preenchimento de formulários. Contudo, o mesmo não se pode dizer do número de contribuinte ou número de identificação fiscal (NIF). O algoritmo utilizado é o mesmo do que o do BI, só com uma diferença: o algarismo de controlo não se encontra destacado, mas sim incorporado no próprio número (é o algarismo mais à direita). Por isso, se o seu número de contribuinte terminar em 0, tenha cuidado pois para efeito de contas tanto pode valer 0 como 10, o que abre a porta para que muitos erros de escrita não sejam detetados!

 

    Com a criação recente do Cartão de Cidadão, terá sido tomada alguma medida adicional para contornar este bug? Uma leitura atenta ao Cartão de Cidadão permite concluir que o NIF continua na mesma, o que é preocupante se terminar em 0! E em relação ao número do BI? Com a entrada em vigor deste novo documento, o antigo número do BI passou a ser designado por número de identificação civil e aparece seguido de 4 caracteres, que em conjunto formam o número de documento.

 

    O antigo algarismo suplementar do BI é o primeiro desses quatro caracteres e o algoritmo para detetar erros na escrita do número de identificação civil é precisamente o mesmo. Até aqui não há novidades. Seguem-se dois caracteres alfanuméricos que representam o número da emissão do cartão para um determinado cidadão: o primeiro cartão a ser emitido apresenta as letras ZZ; se, por algum motivo, for emitido um novo cartão (por exemplo, por roubo ou extravio do anterior), este virá com as letras ZY, e assim sucessivamente. Isto significa que, ao longo da sua vida, nenhum cidadão português terá dois cartões com o mesmo número de documento, o que permite às autoridades competentes evitar falsificações e identificar cartões utilizados indevidamente. Por fim, surge um último algarismo, com um valor entre 0 e 9. E aqui está a novidade. Este é o algarismo de controlo de um novo sistema que permite detetar erros na escrita de todo o número de documento. E desta vez, felizmente, optou-se por um sistema diferente do aplicado ao número do BI.

 

    O sistema implementado é semelhante ao aplicado nos cartões VISA. Às letras são atribuídos valores numéricos: A=10; B=11; C=12; …; Z=35. Vejamos um exemplo: 6235008 0ZZ2. Para se verificar se este número está correto, procede-se da seguinte forma: fazendo a leitura do número da direita para a esquerda (isto porque se deve começar pelo algarismo de controlo), adicionam-se todos os algarismos que estão nas posições ímpares (primeiro algarismo, terceiro algarismo,…). Obtemos s1=2+35+8+0+3+6=54. Em seguida, multiplicamos por 2 os algarismos nas posições pares (segundo algarismo, quarto algarismo,…). Ficamos com 2x35=70; 2x0=0; 2x0=0; 2x5=10; 2x2=4. Em seguida, subtraem-se 9 unidades aos valores obtidos com mais de um dígito, obtendo-se: 61; 0; 0; 1; 4. Adicionam-se estes valores, s2=61+0+0+1+4=66. Por fim, calcula-se o valor de s=s1+s2=54+66=120, que deverá ser um múltiplo de 10 (ou seja, o seu algarismo das unidades deverá ser 0). Se o resultado final não for um múltiplo de 10, significa que ocorreu um erro e que o número não está corretamente escrito.

 

    Ficam assim desvendados muitos dos mistérios do novo Cartão de Cidadão. Mas o leitor curioso pode não ficar por aqui: se fizer uma breve pesquisa na Web e procurar por “Check Digit” e “NISS”, descobrirá que o número de identificação na segurança social, presente no verso do Cartão de Cidadão, também é um sistema de identificação modular!

 

 

Ricardo Cunha Teixeira (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador no Departamento de Matemática da U. dos Açores)

 

Página pessoal do autor: www.rteixeira.uac.pt

 

Ver artigo original em:

http://www.tribunadasilhas.pt/index.php/opiniao/item/5450-a-matemática-do-cartão-de-cidadão-i

http://www.tribunadasilhas.pt/index.php/opiniao/item/5608-a-matemática-do-cartão-de-cidadão-ii

 

Tópico: Comentários

João

Data: 19-02-2017 | De: Joao

João

Re:João

Data: 19-02-2017 | De: Joao

João cotes

A matemática do cartão do cidadão

Data: 07-06-2014 | De: Graciete Virgínia Rietsch Monteiro. Fernandes

Mais uma vez obrigada. Verifiquei, tal como indicou, e está absolutamente certo.
Um abraço.

A matemática do cartão de cidadão

Data: 06-06-2014 | De: Graciete Virgínia Rietsch Monteiro. Fernandes

Como já possuo um BI vitalício há muito tempo, não tenho cartão de cidadão mas o meu BI já inclui o número suplementar (1). Fiz as contas indicadas e obtive realmente um múltiplo de 11. Só que em relação ao NIF já encontro divergências pois que o algarismo mais à direita, no caso do NIF, é 3 e deveria ser 1 para haver concordância com o que foi explicado. Será porque os cartões são já muito antigos? São ambos de 2005. Até hoje nunca tive problemas mas...nunca se sabe. Um abraço e muito obrigada pelas informações.

Re:A matemática do cartão de cidadão

Data: 06-06-2014 | De: Ricardo Cunha Teixeira

Obrigado Graciete pelo seu olhar sempre atento!
Sobre a questão que coloca, o facto de o algarismo de controlo no BI estar destacado, enquanto que no NIF é o algarismo das unidades gera, por vezes, confusão nos cálculos.
Por exemplo, se um NIF terminar em ...603, a soma de teste a calcular, que deverá ser um múltiplo de 11, é a seguinte: S=1x3+2x0+3x6+4x...+5x...+..., até se chegar ao algarimo maos à esquerda.
Verifique, por favor, se assim funciona...

Re:Re:A matemática do cartão de cidadão

Data: 06-06-2014 | De: Ricardo Cunha Teixeira

Queria dizer: "até se chegar ao algarismo mais à esquerda."

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