A Matemática na busca pela perfeição

30-08-2014 16:19

 

    Os números de Fibonacci surgem na famosa sucessão numérica (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…), em que cada termo resulta da soma dos dois anteriores. Por exemplo, 8=5+3 e 55=34+21. Estes números são muito frequentes na Natureza: encontramo-los, por exemplo, aos pares nos ananases e nas flores. Mas a sua importância não se fica por aqui.

 

    Os números de Fibonacci apresentam propriedades notáveis. O leitor ficará surpreendido se somar os termos que se encontram nas posições ímpares (primeiro termo, terceiro termo, quinto termo, etc): o resultado é novamente um número de Fibonacci. Tem-se: 1+2=3, 1+2+5=8, 1+2+5+13=21,…

 

    De entre as numerosas propriedades desta sequência numérica, destacamos apenas mais uma. Considerem­‑se os pares de termos consecutivos da sequência e divida-se cada número pelo anterior. Tem-se: 1/1=1; 2/1=2; 3/2=1,5; 5/3=1,666…; 8/5=1,6; 13/8=1,625; 21/13= 1,615…; 34/21=1,619…; etc. O que é espantoso é que, à medida que efetuamos os cálculos, os resultados parecem aproximar­‑se de um valor particular, umas vezes por defeito, outras por excesso. Esse valor é uma dízima infinita não periódica, aproximadamente igual a 1,618. Representa-se pela letra grega phi e é conhecido por número de ouro.

 

   

    A Natureza conduziu-nos a uma lista de números, os números de Fibonacci, e estes, por sua vez, conduziram-nos ao número de ouro. Ao princípio, este número parece-nos arbitrário e estranho. Porém, a Natureza e a Matemática surpreendem-nos com uma sinergia inesperada. O número de ouro encerra uma beleza e estrutura que está longe de ser arbitrária, tendo sido alvo de grande interesse ao longo da história.

 

    Recebemos como legado dos matemáticos gregos várias construções geométricas apenas com régua e compasso. De entre essas construções, existem várias que usam o número de ouro. Uma delas é o chamado retângulo de ouro, em que a razão entre o comprimento do lado maior e o do lado menor é dada pelo número de ouro. Este retângulo apresenta uma propriedade notável: se retirarmos o quadrado formado pelo lado de menor comprimento obtemos novamente um retângulo de ouro. Talvez por isso, este retângulo é considerado o mais belo de entre todos os retângulos! Algumas experiências realizadas por psicólogos revelam mesmo que a maioria das pessoas, inconscientemente, prefere as dimensões do retângulo de ouro, ao escolher um quadro, um espelho, ou outro tipo de objetos retangulares.

 

    O recurso ao número de ouro é justificado muitas vezes por motivos estéticos. Existem diversos exemplos onde vemos reflexos do número de ouro em trabalhos arquitetónicos ao longo da nossa história, tais como a pirâmide de Quéops no Egito (a razão entre a altura de uma das faces laterais e metade do lado da base é aproximadamente igual a 1,618) e o Pártenon em Atenas (a razão entre o comprimento e a altura da sua fachada é aproximadamente igual a 1,618), embora ambos os exemplos possam ser contestados. Vale também a pena referir o uso consciente do número de ouro por vários pintores. Em Portugal, destaca-se o trabalho de Almada Negreiros. Se recuarmos ainda mais no tempo, um exemplo famoso, embora muitas vezes contestado, é o caso da Mona Lisa de Leonardo Da Vinci. Se o leitor procurar na Internet, encontrará numerosas referências a retângulos de ouro associados a este quadro. Mas terá Da Vinci utilizado o número de ouro de forma consciente? Esta suposta aparição do número de ouro na arte pode ser discutível, mas não deixa de ser um facto curioso. Em próximas oportunidades, aprofundaremos os exemplos apresentados neste parágrafo.

 

    Podemos também encontrar o número de ouro no corpo humano. Este facto está patente no famoso Homem de Vitrúvio de Leonardo Da Vinci. Se dividirmos a nossa altura pela distância do umbigo ao chão (tendo apenas o cuidado de utilizar sempre a mesma unidade de comprimento, ou o metro ou o centímetro), obtemos um valor aproximado do número de ouro (1,618). O leitor pode mesmo partir deste facto e fazer um concurso lá em casa. Quem mais se aproximar deste valor, será o mais belo! Se alguém contestar, há sempre a possibilidade de se tirar as dúvidas, efetuando outras medições. Por exemplo, se dividirmos a distância do cotovelo à ponta dos dedos da mão pela distância do cotovelo ao pulso também devemos obter um valor próximo de 1,618.

 

    Há quem conteste as supostas evidências da ocorrência do número de ouro. Já os apaixonados por este número, veem-no em toda a parte e identificam-no, muitas vezes, com os ideais de beleza e perfeição.

 

 

Ricardo Cunha Teixeira (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador no Departamento de Matemática da U. dos Açores)

 

Página pessoal do autor: www.rteixeira.uac.pt

 

Adaptado de: http://www.tribunadasilhas.pt/index.php/opiniao/item/4849-a-matem%C3%A1tica-na-busca-pela-perfei%C3%A7%C3%A3o

 

Comentários

Re:

Data: 01-09-2014 | De: Marinho Lopes

Olá Ricardo,

Bom artigo. :)

Poderás dar referências para a frase em que referes os estudos feitos por psicólogos? Pelo que sei os resultados têm sido sempre inconclusivos. Em alguns estudos até parecia que a tendência convergia mais para 1.6, do que para o número de ouro.

Abraço,
Marinho

Re:Re:

Data: 01-09-2014 | De: Ricardo Cunha Teixeira

Olá!
Tenho lido várias referências indiretas sobre estudos realizados nesse âmbito, uns a favor de que a escolha tende preferencialmente para um valor próximo do número de ouro (mesmo que seja 1,6), outros que contrapõem esses resultados. Acho que esta questão é controversa não por serem inconclusivos os estudos, mas por apontarem em sentidos apostos.
Daí que, de facto, não seja algo minimamente consensual. Já realizei palestras e, ao perguntar à plateia qual o retângulo mais belo de entre vários à escolha, geralmente a resposta tende para o retângulo de ouro. Também não nos devemos esquecer que muitos objetos do dia a dia são próximos do retângulo de ouro, como os cartões VISA. Será mera coincidência?
Este era para ser o último de três artigos sobre a sucessão de Fibonacci e o número de ouro, mas entusiasmei-me com o assunto e acabei por escrever mais 5 que vão ser publicados no Ciência com Todos nas próximas semanas!
Abraço

Re:Re:Re:

Data: 01-09-2014 | De: Marinho Lopes

Curiosamente, na palestra do Keith Devlin, o público escolhe outro rectângulo que não o de ouro:
https://www.youtube.com/watch?v=4oyyXC5IzEE
De qualquer forma, isto não prova nada, claro.

À falta de justificações, razões aproximadas devem ser observadas com cuidado, já que o número de ouro não é o único número especial na Matemática…

Fico à espera desses artigos. :)

Abraço.

Re:Re:Re:Re:

Data: 02-09-2014 | De: Ricardo Cunha Teixeira

Obrigado pela partilha! Keith Devlin, um excelente divulgador da matemática!
De facto, há estudos que apontam para a escolha de um retângulo próximo do retângulo de ouro e outros para outros retângulos. Esta não é uma questão consensual. Digamos, que o retângulo de ouro é apenas "um dos candidatos a ganhar o prémio de retângulo mais belo!"...
Abraço.

A Matemática na busca da perfeição

Data: 30-08-2014 | De: Graciete Virgínia Rietsch Monteiro. Fernandes

Eu creio que já conhecia este texto, mas é para mim sempre surpreendente encontrar a Matemática em tudo o que é conhecimento e beleza.
Os meus cumprimentos.

Re:A Matemática na busca da perfeição

Data: 31-08-2014 | De: Ricardo Cunha Teixeira

Obrigado Graciete pela sua leitura sempre atenta. Um abraço dos Açores.

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