Da prova dos nove aos códigos QR

14-06-2014 12:27

 

 

    Lembro-me na minha infância de ir fazer compras à mercearia do Senhor Eduardo, que se encontrava localizada no centro da freguesia dos Flamengos, na Ilha do Faial. Admirava a paciência e a seriedade com que o Senhor Eduardo registava numa folha de papel os preços dos produtos, um a um, e a rapidez com que confirmava a soma obtida recorrendo ao que, na altura, me pareciam “contas mágicas”.

 

    A verdade é que o Senhor Eduardo aplicava a velhinha prova dos nove, ou seja, “tirava os noves” separadamente às parcelas e à soma. Os dois resultados obtidos deveriam ser iguais. A ideia é simples: para cada número, deve-se adicionar sucessivamente os algarismos que o compõem, “retirando noves” sempre que possível. Na verdade, este método permite determinar o resto da divisão de um número por 9. Vejamos um exemplo concreto, 345+482=827, em que se pretende verificar se o resultado obtido está correto. Comecemos pelas parcelas, mais precisamente pela primeira parcela (345). Tem-se 3+4=7 e 7+5=12. Como se ultrapassou as nove unidades, retira-se 9 e fica-se com 3. Para a segunda parcela (482), obtém-se 4+8=12; retiram-se nove unidades, ficando com 3; em seguida, calcula-se 3+2=5. Por fim, adicionam-se os valores obtidos das duas parcelas: 3+5=8. Aplica-se o mesmo tipo de raciocínio para a soma obtida (827). Tem-se 8+2=10; retiram-se nove unidades, obtendo-se 1; finalmente, 1+7=8, precisamente o mesmo valor obtido quando se aplicou este método às parcelas.

 

    Apesar de a prova dos nove ter entrado em desuso, temos hoje sistemas de identificação que também se baseiam em princípios de Aritmética Modular. É o caso dos códigos de barras, que vieram tornar mais eficiente o pagamento nas caixas e, simultaneamente, ajudar a controlar com maior eficácia o inventário das mercadorias em armazém. O sistema Universal Product Code (UPC) foi o primeiro código de barras adotado em larga escala. Criado nos Estados Unidos da América, em 1973, apresenta 12 algarismos. O sucesso deste sistema impulsionou a sua difusão pelo mundo. Em 1976, adotou-se na Europa um sistema análogo, o European Article Number (EAN), que apresenta 13 algarismos. As embalagens de tamanho reduzido contam apenas com 8 algarismos. A leitura do número do código de barras permite calcular a sua soma de teste, que deve ser sempre um múltiplo de 10, de forma a garantir com alguma fiabilidade que não foram cometidos erros de leitura do código. A forma como se calcula a soma de teste foi explicada no artigo do Tribuna das Ilhas, de 12 de outubro de 2012 (“A matemática dos códigos de barras”).

 

    Recentemente surgiu uma nova geração de códigos de barras designados por códigos QR (do inglês Quick Response). Certamente o leitor já os viu em anúncios publicitários ou em revistas. Estes códigos bidimensionais ou do tipo matricial representam a informação através de pequenos quadrados brancos e pretos, distribuídos na horizontal e na vertical, organizados numa tabela (matriz) quadrada. Foram inventados em 1994 pela Denso Wave, empresa subsidiária da Toyota. Destinavam-se, inicialmente, a ser usados na catalogação das várias fases de construção de um veículo. Atualmente, a sua utilização prende-se, grande parte das vezes, com a codificação de uma hiperligação da Web, evitando, assim, a necessidade de escrita ou memorização de longos caminhos de texto. Podem também ser utilizados para armazenar outro tipo de informação, como um número de telefone ou um email.

    

    Ao contrário do código de barras tradicional, o QR não requer um leitor especial. Este apresenta uma elevada capacidade de representação da informação e é de leitura extremamente rápida. Apenas é necessário um telemóvel com câmara e software capaz de o descodificar. Há leitores de código QR gratuitos para os smartphones e tablets das diferentes marcas. Esta facilidade de leitura com recurso às novas tecnologias é um aspeto que tem contribuído para a rápida proliferação dos códigos QR. Cada código possui três quadrados grandes (padrões de posicionamento) colocados em três dos cantos e um quadrado mais pequeno no outro canto (para o alinhamento), o que permite que o software de interpretação consiga definir a orientação, posição, tamanho do código e ângulo de leitura, não havendo qualquer constrangimento de orientação ou exigência de um ângulo específico para a leitura do código. Outra vantagem é que o sistema permite a deteção e correção de erros de leitura de códigos sujos ou danificados, até um certo limite.

 

    Muitas iniciativas interessantes têm utilizado recentemente os códigos QR. Por exemplo, uma empresa nacional criou em 2012 um conceito de coleiras com estes códigos incorporados que tem por objetivo tornar mais rápida a recuperação de animais perdidos. Também no mesmo ano construiu-se em Lisboa, no Chiado, o primeiro código QR em calçada portuguesa, que dá acesso a um site com divulgação turística.

 

    Qualquer pessoa pode gerar os seus códigos QR, nomeadamente, para divulgar um determinado endereço na Web. Basta pesquisar nos motores de busca por “free QR code generator”. A título de exemplo, apresenta-se o código QR do endereço http://sites.uac.pt/rteixeira/simetrias, onde se encontra informação relativa ao levantamento dos padrões matemáticos em calçada nos Açores e onde se podem descarregar roteiros de simetria de várias ilhas. Aproveite o Verão para apreciar a matemática das calçadas dos Açores!

 

 

Ricardo Cunha Teixeira (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador no Departamento de Matemática da U. dos Açores)

 

Tópico: Comentários

Re:

Data: 16-06-2014 | De: Marinho Lopes

Bom artigo.

A parte dos QR codes já sabia, mas foi bom relembrar a proba dos noves. :)
Passar na prova é condição necessária mas não suficiente para dizer que o resultado está certo. Existe uma probabilidade de 10% de o resultado estar errado, certo?

Cumprimentos,
Marinho

Re:Re:

Data: 16-06-2014 | De: Marinho Lopes

Pensando melhor, a probabilidade não tem sentido nenhum. (A estimativa só faria sentido num caso bem definido.)

Re:Re:Re:

Data: 17-06-2014 | De: Ricardo Cunha Teixeira

Olá!
De facto, a prova dos nove não nos traz garantias de o resultado estar correto. É uma condição necessária, mas não suficiente. Sobre a questão da probabilidade, é algo que deve ser pensado com cuidado. De uma maneira geral, pode pensar-se da seguinte forma: os restos possíveis da divisão por 9 são 9 (0, ..., 8) e o erro não é detetado apenas se obtivermos o valor que resultou da adição módulo 9 dos algarismos do resultado. Sendo assim P=1/9, que é aproximadamente igual a 11%.
Abraço.

Re:Re:Re:Re:

Data: 23-06-2014 | De: Marinho Lopes

Pois, isso era o que eu tinha pensado (embora me tivesse esquecido de retirar o 9), mas se não colocarmos restrições ao resultado, a probabilidade pode ser infimamente baixa, claro.

Abraço.

Da prova dos 9 aos códigos QR

Data: 14-06-2014 | De: Graciete Virgínia Rietsch Monteiro. Fernandes

É fantástico quanto a informática veio simplificar a nossa vida. Eu conhecia a existência dos códigos mas o seu funcionamento não. Muito obrigada pela informação.
Eu gostava muito de ir aos Açores para conhecer melhor não só as ilhas de que tanto gostei(S. Miguel, Terceira,Faial e Pico), mas outras ainda que devem ser igualmente maravilhosas. Não sei porquê, talvez ainda pelo seu aspeto mais selvagem, mas a ilha do PICO maravilhou-me.
Um abraço

Re:Da prova dos 9 aos códigos QR

Data: 14-06-2014 | De: Ricardo Cunha Teixeira

A ilha do Pico também é minha favorita, mas sou suspeito pois foi onde nasci. Um abraço!

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