Medições Astronómicas

10-11-2013 18:46

 

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    O Homem sempre teve curiosidade em saber quanto mede um objecto qualquer, muitas vezes sem haver uma razão para tal interesse. Medir um objecto é algo relativamente fácil se esse objecto não for nem muito grande, nem muito pequeno. Neste artigo vou-me focar nas medições do muito grande. É claro que não se trata de medições directas, mas sim indirectas, ou seja, obtidas através de cálculos (os quais usam medidas directas de outras variáveis).

 

Como medir o raio da Terra?

 

    Curiosamente a primeira medição foi feita muito antes de toda a humanidade estar convencida que de facto a Terra era redonda. Foi Eratóstenes, matemático e astrónomo grego, que viveu entre 285 a.C. e 194 a.C., quem primeiro conseguiu medir o raio da Terra, com uma precisão notável (pois as aproximações em causa eram boas).

 

    A Figura 1 ilustra a ideia:

 

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Figura 1: Em Siena, ao meio dia, os “raios” de luz chegam perpendiculares à Terra, enquanto que ao mesmo tempo, em Alexandria, os raios chegam com uma certa inclinação, devido à curvatura da Terra.

 

    Erastóstenes supõe (e bem) que o Sol está muito distante da Terra e como tal os “raios” de luz chegam à Terra praticamente paralelos, sendo assim pôde fazer um cálculo muito simples, tendo em conta que sabia quantos quilómetros separavam Siena de Alexandria: cerca de 800km. O ângulo que os “raios” de luz faziam em Alexandria com a perpendicular já era fácil de medir na altura de Erastóstenes: o ângulo medido foi de 7º. Como o círculo tem 360º, surge então uma “regra de três simples” evidente para determinar o perímetro da Terra: se 7 está para 800, então 360 está para 360×800/7, ou seja, cerca de 41 mil quilómetros. Como o perímetro é 2pi R, então o raio é igual a cerca de 6 mil e 500 quilómetros (o valor correcto é 6378 km).

 

Como medir a distância da Terra à Lua?

 

    Outro astrónomo e matemático grego, desta vez Hiparco (190-120 a.C.), foi o primeiro a determinar esta distância (é também o criador do primeiro astrolábio, descobriu a precessão dos equinócios, etc.).

 

    O problema foi resolvido do seguinte modo:

 

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Figura 2: Os astros não estão à escala, nem as distâncias entre eles, claro. As letras ‘a’, ‘b’, ‘c’ e ‘d’ são ângulos, R o raio da Terra e X a distância da Terra à Lua.

 

    O ângulo ‘d’ determina-se pelo tempo que demora um eclipse lunar. Se a Lua demora cerca de 28 dias a dar uma volta completa à Terra (360º), e demorar cerca de 100 minutos no eclipse lunar, isso corresponde a duas vezes o ângulo ‘d’, e como tal temos mais uma regra de três simples: 2d=360×100/(28 dias x 24h x 60 minutos) = 1º, portanto d=0. 5º, aproximadamente. Não sei se será evidente para o leitor, mas é fácil de deduzir que os ângulos presentes têm a seguinte relação: a+b=c+d. Se for evidente, poderá passar já para o próximo parágrafo, pois vou explicar como obter essa equação: a soma interna dos ângulos de um triângulo é 180º. Considerem que em vez de dois triângulos, temos apenas um triângulo (obtuso) composto pela junção daqueles dois e chame-se ‘f’ ao ângulo obtuso. Logo, como ‘c’ e ‘d’ são medidos sobre a horizontal, tem-se que c+d+f=180 (ângulo raso). Por outro lado, a soma dos ângulos internos do triângulo obtuso dá-nos a+b+f=180. Ambas as expressões dão 180, logo c+d+f=a+b+f, corta-se o ‘f’ e fica-se com a equação que se queria obter: a+b=c+d.

 

    O ângulo ‘a’ obtém-se da observação do raio da Terra a partir do Sol – como o Sol está muito distante, ‘a’ é muito menor que todos os outros ângulos presentes, pelo que a expressão fica aproximadamente: b=c+d. ‘c’ é o chamado semi-diâmetro angular solar, pois é metade do diâmetro que vemos do Sol, a partir da Terra, em medida angular, que pode ser medido indirectamente observando o Sol. O resultado da altura foi de cerca de 0,25º. Sendo assim, b=0,5+0,25=0,75º. O seno de b é igual ao raio da Terra a dividir pela distância da Terra à Lua, logo a distância da Terra à Lua: X=R/sen(b), pelo que chega-se à relação aproximada de que a distância da Terra à Lua deverá ser de cerca de 76 vezes o raio da Terra. Hiparco, tendo sido mais cuidadoso que eu aqui e levando em consideração o erro associado às suas medidas, estimou que essa distância era de 62 a 74 vezes o raio da Terra. O valor real é entre 57 a 64 vezes (visto que a distância varia). Actualmente a distância pode ser estimada usando os espelhos que os americanos deixaram na Lua: aponta-se um LASER a esses espelhos e espera-se que a luz do LASER regresse. Como a luz do LASER viaja a uma velocidade conhecida (velocidade da luz, claro), obtém-se a distância multiplicando a velocidade pelo tempo (e dividindo por dois, porque o tempo medido é o tempo da luz ir e voltar, ou seja, o dobro da distância). A Lua situa-se a cerca de 384 mil quilómetros da Terra (em média, pois a órbita não é circular, mas sim elíptica).

 

Como medir a distância da Terra ao Sol?

 

    Sem surpresa, outro astrónomo grego deu a resposta a esta questão pela primeira vez: o primeiro defensor do Heliocentrismo, Aristarco de Samos (310 a.C. – 230 a.C.).

 

    Eis o desenho:

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Figura 3: Quando a Lua está em Quarto Crescente ou Minguante, o sistema Terra-Sol-Lua forma um triângulo rectângulo.

 

    Ele mediu o ângulo em que o vértice é a Terra directamente e usou um valor conhecido da distância da Terra à Lua (o que indica que Hiparco não terá sido o primeiro a fazer a estimativa antes indicada – se a biblioteca de Alexandria não tivesse ardido, talvez soubéssemos hoje quem teria sido o primeiro a fazer tal façanha (e como, não necessariamente pelo mesmo método que Hiparco usou)), para estimar a distância da Terra ao Sol.

 

    Os cálculos são triviais: o co-seno do ângulo medido é igual ao cateto adjacente (distância Terra-Lua) sobre a hipotenusa (distância Terra-Sol) – é só substituir os dois valores conhecidos e resolver em ordem à hipotenusa.

 

    A estimativa de Aristarco de Samos não foi muito rigorosa: deduziu que a distância do Sol à Terra era de cerca de 20 vezes a distância da Terra à Lua, quando na verdade é de aproximadamente 400 vezes. Apesar do raciocínio de Aristarco ter sido correcto, as medidas usadas não o eram (as tabelas de valores para o co-seno também ainda não eram muito precisas). O valor correcto da distância da Terra ao Sol é aproximadamente de 150 milhões de quilómetros (1 UA, ou seja, define uma unidade astronómica). Tal como no caso da Lua, também a órbita da Terra em torno do Sol não é circular, pelo que esta distância varia um pouco.

 

    A título de curiosidade acrescento ainda que este astrónomo calculou várias outras distâncias astronómicas, tendo tido particular sucesso na determinação do diâmetro da Lua (obteve que este é três vezes menor que o diâmetro da Terra, quando na verdade é 3,7 vezes). Para isto baseou-se na sombra projectada da Terra na Lua, num eclipse lunar (desafio-vos a fazer o desenho geométrico que ilustra a ideia e que lhe permitiu chegar à estimativa, bem como determinar a equação).

 

Como medir a distância da Terra a uma estrela?

 

    O primeiro método usado para fazer estas estimativas é chamado de paralaxe, ou triangulação (actualmente há outros métodos, como o uso de radar).

    Observe-se o esquema:

 

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Figura 4: Duas medições são feitas da posição angular de uma dada estrela – uma agora, outra daqui a 6 meses.

 

    Como a Terra se movimenta em torno do Sol, a posição aparente das estrelas vai alterando-se ao longo do ano no céu. Assim, para se fazer um triângulo, faz-se uma medição angular de uma estrela numa dada altura e outra daí a seis meses. Desta forma, a distância da Terra ao Sol é usada como referência.

 

    Com medições cuidadas da posição das estrelas no céu é fácil de estimar o ângulo em causa e depois é apenas usar a trigonometria simples já antes aplicada para os outros casos (não mostro para este caso, para não me tornar demasiado repetitivo).

 

    A estrela mais próxima é a Alfa Centauri (a terceira mais brilhante do céu) que se situa a uma distância de aproximadamente 4,3 anos-luz (ou seja, a distância que a luz demora a percorrer nesse tempo: 4,3×365 dias x24h x60 minutos x60 segundos x300 000 km/s, que é cerca de 40 000 000 milhões de quilómetros).

 

    O primeiro cientista a usar este método foi Friedrich Wilhelm Bessel, em 1838, para medir a distância a que a estrela binária 61 Cygni está da Terra.

 

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Figura 5: “Olhar para a vastidão do universo faz-me compreender o quão insignificante tu és.”

 

 

Marinho Lopes (colaborador do Ciência com Todos e doutorando em Física na U. de Aveiro) - texto primeiramente publicado no Blog do autor: Sophia of Nature.

 

Ver original em: http://sophiaofnature.wordpress.com/2011/08/23/medicoes-astronomicas/

 

Tópico: Comentários

Medidas astonómicas

Data: 11-11-2013 | De: Graciete Virgínia Rietsch Monteiro Fernandes

O cálculo de Eratóstenes já eu conhecia. Os outros não. Parecem tão simples mas, naquela época, com instrumentos tão rudimentares, eram fabulosos. Às vezes penso que, se a Biblioteca de Alexandria não tivesse ardido e o conhecimento não estivesse escondido nos conventos, na Idade Média, onde estaríamos hoje apesar da extraordinária evolução de Ciência.
Parabéns pelos seus artigos.
Um abraço.

Re:Medidas astonómicas

Data: 12-11-2013 | De: Marinho Lopes

Acredito que o maior empecilho à evolução da Ciência foi mesmo o poder que a Igreja teve sobre o progresso. Penso que a perda do Biblioteca de Alexandria foi mais uma perda histórica que científica, pois os conhecimentos lá guardados em livros também deveriam estar em geral noutros sítios, a serem estudados por alguns "cientistas" da época. É claro que terão havido perdas e é difícil de estimar quão grandes foram essas perdas, mas sendo o conhecimento "uno", é de supor que "rapidamente" os cientistas da época tenham tratado de escrever novos livros com os conhecimentos que sabiam que se tinham "perdido" na biblioteca, ou reinventando aquilo que já tinha sido sabido antes.

Em suma, o quero dizer é que apesar de a perda ter sido grande, não terá sido "completa" do ponto de vista científico (como às vezes parecem nos fazer crer quando se fala dessa tragédia).

Obrigado. :)

Abraço.

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