O Stomachion

23-08-2013 21:51

 

    A invenção de um dos mais antigos quebra-cabeças geométrico que se conhece é atribuída a Arquimedes, sábio grego que viveu em Siracusa, Sicília, no séc. III a.C.. Esse quebra-cabeças é chamado Stomachion embora não se saiba o significado preciso desta palavra (tem a mesma raiz que a palavra grega para estômago ). A informação sobre este quebra-cabeças chegou-nos através de dois manuscritos muito incompletos (copiados de manuscritos anteriores que se perderam) mas que permitem construí-lo e observar algumas das suas características. Parece que Arquimedes fez um estudo bastante completo do quebra - cabeças, mas esse estudo não sobreviveu aos muitos séculos de guerras, pilhagens, destruições e incompreensão pelos estudos literários e científicos. O Stomachion é constituído por um conjunto de 14 peças planas (originalmente em marfim) de várias formas poligonais com duas características fundamentais:

- podem unir-se de modo a formar um quadrado;

- a área de cada peça é comensurável com a área do quadrado anterior.

O que significa comensurável? Significa que o quociente entre a área de cada peça e a área do quadrado total é um número racional.
É muito fácil construir o quebra-cabeças se partirmos de um quadrado de lado igual a 12 unidades. Começamos por traçar o quadrado sobre uma quadrícula de 12 por 12 (se usarmos papel quadriculado teremos a tarefa muito simplificada). Em seguida marcamos os pontos indicados na figura e unimos esses pontos. Obtivemos 14 figuras e essas são as figuras que constituem o Stomachion.

 

[tabuleiro]

 

    A determinação da área de cada figura é fácil se atendermos ao seguinte resultado conhecido como Teorema de Pick:


    "A área de uma figura cujos vértices são vértices de uma quadrícula regular (geoplano) é igual ao número de vértices da quadrícula que se encontram no interior da figura mais metade do número de vértices que se encontram sobre a linha limite da figura a que se retira uma unidade"

    Este teorema foi descoberto pela primeira vez pelo matemático Georg Alexander Pick em 1899; Pick nasceu em Viena de Áustria em 1859 e morreu durante a II Grande Guerra em 1943 no campo de concentração de Theresienstadt. O teorema de Pick só é válido para figuras simples, isto é para figuras em que os lados não se intersectem a não ser, eventualmente, nos vértices. O teorema é usado, por exemplo, na indústria florestal, para determinar a área de uma região em função do número de árvores (regularmente espaçadas).
    Usando este teorema é fácil provar que no Stomachion há 2 peças de área 3, 4 peças de área 6, 1 peça de área 9, 5 peças de área 12, 1 peças de área 21 e uma peça de área 24. Como a área do quadrado formado por todas as peças é 144, a razão entre a área de cada figura e a área do quadrado é, respectivamente, 1/48, 1/24, 1/16, 1/12, 7/48 e 1/6. Na literatura antiga aparecem várias referências ao Stomachion . Marius Victorinus (séc IV) e Atilius Fortunatus (séc VI) chamam-lhe loculus Archimedius (caixa de Arquimedes). Num manuscrito do poeta e estadista romano Ausonius (séc IV) o Stomachion é comparado a uma forma de poesia em que várias métricas são misturadas. Nesse manuscrito aparece a seguinte forma que se pode dar às peças do Stomachion e que aparenta ser um elefante:

 

[elefante]

 

    Vários problemas interessantes se podem associar às peças do Stomachion, além de procurar outras figuras sugestivas que se possam formar com as suas peças. Por exemplo: "Agrupar as peças do Stomachion de modo que as áreas (divididas pelo factor 3) dos novos fragmentos obtidos sejam representadas por:

1- três números inteiros iguais
2- três números inteiros consecutivos
3- pelos oito primeiros números inteiros e pelo número 12."

 

Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente de Matemática na U. de Coimbra)

Página pessoal do autor: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/

 

Ver original em: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/matelem/stomachion.html

 

Tópico: Comentários

O Stomachion

Data: 24-08-2013 | De: Graciete Virgínia Rietsch Monteiro Fernandes

Muito interessante. Não conhecia.
Aqui sempre aprendo coisas novas ou aprofundo o que ia sabendo.

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