Teoria do Caos

05-05-2013 15:01

 

    Creio que todos já devem ter ouvido falar do “efeito borboleta”, e da célebre frase que diz que um bater de asas de uma borboleta aqui, pode provocar um tufão do outro lado do mundo.

 

    Digamos que tudo começou quando Edward Lorenz, em 1961, estudava um modelo simples de convecção de um fluído (parte de um estudo sobre previsibilidade meteorológica), descobriu algo que à primeira vista poderia indicar falta de engenho de si próprio para conseguir chegar a uma resposta mais satisfatória, que não esta: era impossível prever o comportamento deste sistema!

 

    (Quem desconhecer cálculo diferencial, passe à frente desta parte a vermelho.)

 

    O Modelo de Lorenz (agora conhecido por este nome, por razões óbvias) pode-se resumir ao seguinte sistema não linear de 1ª ordem:

 

 

 

 

 

 

 

 

    (x, y e z são variáveis que não possuem significado físico directo; r é proporcional ao gradiente de temperatura aplicado.)

 

    Proponho-vos que não tentem resolver à mão, mas se dispuserem de um programa de simulação matemática (Matlab, ou Mathematica, por exemplo), poderão representar graficamente a dependência entre estas variáveis:

 

    (Com σ=10, b=8/3 e r=60.)

 

    Foi a partir de uma imagem semelhante a esta, que Lorenz apresentou pela primeira vez a “borboleta”.

 

    Mas porquê que Lorenz afirmou que este sistema era impossível de prever? Como se pode confirmar facilmente a partir de meios computacionais, uma ínfima alteração nas condições iniciais do sistema, significam uma alteração total nas soluções deste a médio/ longo prazo. Ou seja, para se conseguir ter uma previsão com 100% de certeza, seria necessário uma precisão infinita na medição das grandezas implicadas, algo, que como sabem é impossível, visto que todos os aparelhos de medição têm sempre um erro associado, (para não falar que o Principio da Incerteza de Heisenberg também não o permite).

    Daqui surgiu o conceito de caos.

 

    Para não pensarem que por causa deste último argumento, a teoria se torna totalmente inútil:

 

    “Em 19 de Fevereiro de 1998, computadores do sistema de previsão de tempestades tropicais dos Estados Unidos diagnosticaram a formação de uma tempestade tropical sobre Louisiana em três dias. Sobre o Oceano Pacífico um meteorologista daquela agência descobriu que havia uma pequena diferença nas medições executadas, e que estas poderiam prever uma pequena diferença no deslocamento das massas de ar. A diferença foi detectada através de uma movimentação do ar em maior velocidade na região do Alasca. Em função das diferenças, houve uma realimentação de dados nos computadores, estes refazendo os cálculos previram que a formação da tempestade tropical em Lousiana não ocorreria, mas haveria sim a formação de um tornado de proporções gigantescas em Orlando, na Flórida, o que realmente ocorreu em 22 de Fevereiro de 1998.”

 

    Recapitulemos, portanto, de que se trata a Teoria do Caos – esta teoria tenta explicar fenómenos que “naturalmente” classificaríamos de casuais, mas que na verdade podem ser testados, verificados e simulados, apesar da sua previsão ser um pouco fortuita por si própria (como o caso descrito em cima). Os casos mais conhecidos da sua aplicação são em fenómenos meteorológicos, como já referido, variações na bolsa, crescimento de populações (tendo um habitat limitado), sismologia – movimento das placas tectónicas, entre outros. Em todos eles o “aleatório” é feito de uma multiplicidade de possíveis acontecimentos, estando estes constantemente a mudar e, por isso, podendo provocar efeitos diversos. (Matematicamente são sistemas dinâmicos não-lineares).

 

    Talvez de um modo paradoxal, ou lógico, dependendo da perspectiva, estes sistemas caóticos, como o descrito pelas equações de Lorenz, tendem para uma “trajectória” fixa, quando observamos em simultâneo todas as variáveis (três, no caso do sistema de Lorenz). A isto se chama um atractor estranho, pois as “trajectórias” das variáveis são atraídas para uma só, mas de um modo “estranho”, porque se se observar apenas o comportamento de uma variável ao longo do tempo, parece que esta se comporta de forma aleatória.

 

    O que é um atractor?

 

Um atractor é o que normalmente se observa num sistema não caótico: independentemente das condições iniciais do sistema, as finais serão sempre as mesmas, podendo-se portanto prevê-las com 100% de certeza. Consideremos por exemplo um pêndulo: independentemente da altura com que o larguemos, ele tenderá inevitavelmente para a posição de equilíbrio, acabando por parar nela (tende para este ponto de uma forma também bem definida, através de oscilações de amplitude sucessivamente menor, devido à resistência do ar). No caso do sistema caótico, também existe um atractor (estranho), mas este só é visível no chamado “espaço de fase”, que caracteriza o comportamento das variáveis não em função do tempo, mas em função das outras variáveis presentes. (No gráfico de cima, tem-se o ‘x’ em função de ‘z’, que são duas variáveis do sistema, sendo possível observar parte do padrão que é visível quando consideradas as três variáveis em simultâneo num gráfico 3D.)

 

    Agora já devem estar a perceber porquê que falava eu em paradoxo: apesar de o sistema ter uma previsibilidade (quase) nula “ponto a ponto”, quando se analisa o problema no seu número total de dimensões (3, no caso do sistema de Lorenz, sendo que 3 é o número mínimo de dimensões que o sistema tem que ter para ter caos), este parece ser determinístico e não aleatório. Em termos práticos, o problema está muitas vezes em conseguir analisar em simultâneo todas as “dimensões”, além de, como referido, haver a limitação na precisão das medidas.

 

    Associado a tudo isto estão os famosos fractais (mesmo que desconheçam a palavra, certamente que já tiveram oportunidade de os apreciar).

 

    Nos atractores estranhos, no seu detalhe gráfico, pode ser visualizada uma auto-similaridade, ou seja, é um objecto geométrico que sendo dividido em partes, cada uma delas é igual à original, o que não é mais que a definição de fractal.

 

    Os fractais são muito comuns na natureza, como podem comprovar se tiverem em atenção certos padrões em folhas de plantas, flores, certos fungos, etc.. Aliás, até uma floresta é um fractal – ainda que uma pequena parte desta não seja exactamente igual a uma grande porção “visualmente”, a verdade é que tem a mesma característica matemática que define o fractal (dimensão fractal).

 

    Uma planta: Brócoli Fractal

 

    Deixo-vos ainda outros exemplos

 

    Conjunto de Mandelbrot

    

   

 Outros obtidos computacionalmente:

 

 

Aplicações da Teoria

 

    Na Matemática, esta teoria abriu um novo campo de estudo de sistemas de equações não-lineares. Veio também revolucionar o estudo estatístico. Os fractais abriram também novos horizontes na Matemática computacional, tendo trazido uma nova forma intuitiva de olhar para o conceito abstracto de infinito. De certo modo, o estudo de fractais deu início à “verdadeira” Matemática computacional, a Matemática que não tem solução analítica.

 

    Na Física, conceitos como entropia (medida da desordem de um universo) puderam ser desenvolvidos, tendo também havido progressos em Mecânica Quântica, nomeadamente no Princípio da Incerteza de Heisenberg. O próprio conceito de Caos tem potencial para ser encontrado em cada vez mais sistemas físicos, pois os sistemas não-lineares são cada vez mais matéria de intenso estudo em Física.

 

    Em Astronomia não faltam sistemas caóticos, sendo o sistema solar um exemplo, contendo dentro dele vários exemplos: porquê que na cintura de asteróides entre Marte e Júpiter nunca se formou ali um planeta com esses asteróides? A teoria do Caos está intimamente relacionada com a resposta. De facto, basta a existência de três corpos a interagirem entre si para que o Caos possa aparecer.

 

    Na Biologia tem-se usado esta teoria para fazer previsões em relação à evolução genética que se verificará na Terra. (Muito provavelmente já viram na televisão programas sobre espécies futuras que habitarão a Terra, pois bem, estas previsões fazem-se com base em Teoria do Caos.)

 

    Na Sismologia, embora a Teoria do Caos, como já referido, não ofereça a possibilidade da previsão de sismos, devido à pouca precisão dos instrumentos que dispomos, tem permitido a cartografia de falhas sísmicas, através do estudo da distribuição caótica da localização e intensidade dos sismos.

 

    Na Medicina, com base nesta teoria descobriu-se que o bater do coração é também um fractal, em que se houver uma pequena fuga ao fractal, o bater deixa de ser perfeitamente periódico, o que deverá significar que o paciente deva estar com insuficiência cardíaca. (Muitos outros exemplos são expectáveis de ser encontrados, bastará certamente que se esteja à procura de Caos.)

 

    Em Ciências Humanas e Ciências Políticas tem-se usado a teoria para tentar prever o comportamento de multidões.

 

    Na Economia, como já referido anteriormente, a Teoria do Caos permite estudar o evoluir dos valores na bolsa: embora a longo prazo as taxas possam parecer evoluir de um modo totalmente aleatório, tal não é verdade (volto a sublinhar que um processo caótico é estritamente diferente de um processo aleatório); por outro lado, analisando detalhadamente a curto prazo, é possível vislumbrar indícios de fractais na evolução da bolsa. (Em 1997, dois americanos receberam o Prémio Nobel da Economia por terem conseguido desenvolver uma fórmula que permite prever aplicações financeiras, com base, claro está, na Teoria do Caos.)

 

    Na Linguística, a evolução dos dialectos tem sido estudada com base na Teoria do Caos.

 

    Na Arte, as influências estéticas são ainda difíceis de determinar, tal é a ruptura com os padrões clássicos que estas descobertas potenciam. A geometria fractal revolucionou o realismo visual, sendo usada na criação de imagens espectaculares e de mundos bizarros para jogos, animações e filmes, com detalhe variável de acordo com a escala, evitando a pixelização. E é impossível determinar os avanços que os meios computacionais cada vez mais potentes auguram.

 

    No Cinema, a aplicação de uma metodologia que envolve fractais tem revolucionado os filmes de ficção científica, dando-lhes muito mais realismo, uma vez que computacionalmente já é possível desenvolver cenários “do nada”, ou melhor, da Matemática fractal. Um bom exemplo disto está no filme Avatar, em que os cenários, como é óbvio, foram todos criados computacionalmente (ainda que certas partes possam ser composições do real com o “criado”).

 

 

Marinho Lopes (colaborador do Ciência com Todos e doutorando em Física na U. de Aveiro) - texto primeiramente publicado no Blog do autor: Sophia of Nature.

 

Ver original em: http://sophiaofnature.wordpress.com/2011/04/25/teoria-do-caos/

 

Tópico: Comentários

Evolução da ciênciia

Data: 11-10-2014 | De: Antonio Carlos

Senão fosse a curiosidade, percepção aliada a intuição aguçada de alguns homens, que ao verem o fenômeno e buscarem sua explicação, estaríamos na idade da pedra, não usufruindo dos avanços tecnológicos que temos hoje. Ainda assim a ciência era para estar mais evoluída e por causa de poucos cientistas está lenta, quase estagnada, ou melhor, avança de funeral em funeral como Amit Goswuami citou, diante da acomodação de grandes físicos submissos aos dono$$ do mundo para manter o status, grande Físicos se acomodam. Sem falar em nosso famoso Einstein contrário, cuja opinião é usada para justificar a não admissão e utilizada pelos cientistas do poder, mas que a cada dia se inclina a essa realidade provada. Saudações e Boa sorte a todos que aceitam, mas não concordam nem se conformam. Abraço a todos.

Teoria do Caos

Data: 10-05-2013 | De: Rogerio Munhoz

Segue uma dúvida que tenho ... e gostaria também de saber se o meu raciocínio está correto...

A teoria do caos diz que uma somatória aleatória de frequências chega em um resultado. Se soubermos qual caminho essas frequências irão tomar, logo estaríamos prevendo o futuro. Agora se temos o resultado e o desmembramos, estaríamos somente revendo os ocorridos ou seria possível a teoria do caos ter alguma equação com a ideia de voltar no tempo?

Fico no aguardo e obrigado desde já.

Atenciosamente.

Re:Teoria do Caos

Data: 10-05-2013 | De: Marinho Lopes

Caro Rogério,

Confesso que me é difícil compreender a sua questão, pois não sei de que frequências fala, de qual o sistema. Talvez esteja a pensar nos mapas logísticos com as bifurcações de duplicação do período, onde é possível encontrar uma multiplicidade de frequências (embora não sejam "aleatórias"). De qualquer forma, independentemente do que fala, um sistema caótico é sempre difícil de analisar devido à questão da precisão nas condições iniciais. Efectivamente, no caso do estudo do caos no sistema solar, faz-se muitas vezes o que sugere: parte-se do agora para o passado, ainda assim, o problema das condições iniciais persiste, pois não é possível definir todos os parâmetros com 100% de certeza (além de normalmente se estudarem, neste caso, equações simplificadas - a longo prazo, as simplificações podem também introduzir erros, que no caso de um sistema caótico podem ser dramáticas). Notar que para "voltar no tempo" não necessita de equações diferentes daquelas que usa para "prever o futuro" (nem sempre, mas é mais comum ter sistemas com simetria temporal, do que sem ela), pois se o sistema é sempre o mesmo, as equações que o governaram no passado são as mesmas que o irão governar para o futuro.

Cumprimentos,
Marinho Lopes

Re:Teoria do Caos

Data: 10-05-2013 | De: Rogério Munhoz

Oi Marinho Lopes,

Muitíssimo obrigado por responder minha pergunta.

Entendi algumas partes mas não entendi outras, pois estudo por conta ...minha faculdade foi de robótica...rsrs

Quando eu falo Frequências quero dizer as cordas...não sei se posso chamar assim... mas me parece muito claro na cabeça as frequências criando o mundo que nos cerca... com a vibração das mesmas gerando as partículas e todo o resto...

Entendo a dificuldade de análise de um sistema caótico e a sua complexibilidade para se calcular todas as condições inicias. Entra ai o princípio da incerteza também né? Pois não temos instrumentos para calcular todas as condições... A questão de um erro se tornar uma catástrofe aprendi com um professor de física e se aplica 100% nesse modelo... e última questão para não tomar mais seu tempo, simetria temporal tem algum encaixe com os fractais?

Obrigado!

Re:Teoria do Caos

Data: 10-05-2013 | De: Marinho Lopes

Olá Rogério,

Aconselho-o a ler o artigo que escrevi sobre a Teoria das Cordas: http://cienciapatodos.webnode.pt/news/teoria-das-cordas/

É importante reparar que é apenas uma teoria em estudo, sem qualquer comprovação experimental. Está longe de ser uma teoria aceite pela comunidade científica em geral, pois de resto ainda é uma teoria incompleta. Assim, não deve falar nos seus pressupostos, como se fossem dados adquiridos e por todos aceites. Está-se muito longe de se ter provado que o mundo realmente é composto por cordas e o mesmo é definido pelas frequências destas.

Sim, como escrevi no artigo, o Princípio da Incerteza de Heisenberg estipula um limite para a precisão das medidas. Ainda assim, mesmo sem o considerar, o problema permaneceria, pois a tecnologia actual está muito longe (na maioria dos casos) da escala de Planck, ou seja, da escala onde esse Princípio seria realmente um problema. Por outras palavras, os instrumentos de medida que dispomos têm todos um erro associado, o qual nos limita quando queremos "jogar" com sistemas caóticos.

Não, não há relação entre as duas coisas. Os fractais nem têm que ser obtidos necessariamente de um sistema caótico (ou seja, a implicação só funciona ao contrário: os sistemas caóticos é que têm dimensão fractal nos seus atractores estranhos). Notar que por simetria temporal, queria dizer que, por exemplo, se a Terra roda num sentido para o futuro, para o passado roda do mesmo modo, ainda que no sentido contrário - a equação é a mesma, é uma questão de mudar um sinal.

Se tiver mais dúvidas, disponha.

Re:Teoria do Caos

Data: 10-05-2013 | De: Rogério Munhoz

Sim Marinho ...Preciso estudar mais a fundo....

Já li alguns artigos seus ...o das cordas ainda não.

Li dois livros muito bons... Almanaque das curiosidades matemáticas de Ian Stewart... e O universo numa casca de noz S. Hawking...mais acho importante fazer mesmo uma faculdade ou curso de astrofísica...

Re:Teoria do Caos

Data: 10-05-2013 | De: Marinho Lopes

Também li esse livro do Stephen Hawking.

A Teoria do Caos normalmente é leccionada em cursos de Física e afins (como astrofísica), a um grau de licenciatura ou mestrado. Uma vez que disse que tem formação de robótica, suponho que tenha aprendido cálculo integral e diferencial. Nesse caso, à partida, estará preparado para pegar um num livro técnico sobre sistemas não-lineares, e aí irá descobrir de onde aparece o caos. Recomendo, por exemplo, o livro do Strogatz de 1994, "Nonlinear dynamics and Chaos". Se o conseguir compreender, ficará a saber mais do que o que aprenderia num curso de Física, provavelmente.

Se o que queria era aprender mais sobre a Teoria das Cordas, posso desde já dizer-lhe que isso não é propriamente fácil - só num doutoramento em Física é que estaria ao nível de começar a aprender isso. É uma teoria com uma matemática muito complexa e que por isso só é estudada mesmo por aqueles que querem dedicar-se à sua investigação. Eu, por exemplo, no meu curso de Física nunca aprendi nada sobre cordas. (A razão não é só a complexidade, é também o facto de normalmente nos cursos só se aprender teorias completas e já verificadas experimentalmente, não sendo a teoria das cordas um exemplo disso.)

Re: Teoria do Caos

Data: 10-05-2013 | De: Rogério Munhoz

Aprendi sim cálculos diferencial e integral..concordo que fica mais fácil...
Vou atrás deste livro do Strogatz..
Valeu a dica.
Vou continuar estudando e continuar no blog de vocês.... esse mundo da física é o que me move a cada dia...
Até mais ver!

Teoria do Caos

Data: 06-05-2013 | De: Graciete Virgínia Rietsch Monteiro Fernandes

O assunto é fascinante mas difícil para mim, principalmente do ponto de vista matemático.
Do que entendi, julgo que a existência na Natureza dos chamadaos fractais conduz a que, apesar das perturbações que geram o caos, se chegará mais cedo ou mais tarde a uma situação semelhante àquela donde se partiu.
O problema é que os fatores de perturbação são tantos que será difícil fazer previsões muito credíveis como, por exemplo, na meteorologia e nos jogos da Bolsa.
Terei razão?
Um abraço.

Re:teoria do caos

Data: 06-05-2013 | De: Marinho Lopes

Não. No caso da bolsa, por exemplo, se se analisar a evolução de um dado valor ao longo do tempo, o mesmo parecerá simplesmente aleatório, sendo na verdade caótico, mas não mostrando qualquer auto-similaridade. A auto-similaridade só se encontra no "atractor estranho", o qual só é observável considerando mais dimensões (que correspondem às variáveis que influenciam o valor em causa).

É claro que na natureza é sempre possível encontrar processos estocásticos que ao longo do tempo acabam por se repetir, mas isso não é auto-similaridade, deve-se apenas aos constrangimentos do sistema. Sendo a repetição um "caso possível", este acaba por ocorrer.

A "perturbação" nas condições iniciais não afecta a auto-similaridade, do mesmo modo que não afecta o atractor estranho.


Talvez seja ainda bom referir que para se ter um fractal não se tem que ter um sistema caótico. É possível "construir" fractais através de outros meios (de outras equações).


Abraço.

Re:Re:teoria do caos

Data: 06-05-2013 | De: Graciete Virgínia Rietsch Monteiro Fernandes

Obrigada.Este assunto já é um pouco complicado para mim.
No entanto está descrito com bastante simplicidade mas, para o entender bem. é necessários outras bases que eu não tenho.
Um abraço.

Irracionalidade do Mercado

Data: 06-05-2013 | De: Migas

"(Em 1997, dois americanos receberam o Prémio Nobel da Economia por terem conseguido desenvolver uma fórmula que permite prever aplicações financeiras, com base, claro está, na Teoria do Caos.)"

O problema foi terem-se esquecido de colocar dados relativos à crise asiática, pelo que em 1998 os dois economistas estavam falidos e tiverem que pedir ajuda ao Soros, ironia do destino.

Re:Irracionalidade do Mercado

Data: 06-05-2013 | De: Marinho Lopes

Bem como a crise na Rússia. Por um lado é ironia do destino, por outro é para relembrar a importância fulcral das "condições iniciais" em sistemas caóticos.

Livros

Data: 06-05-2013 | De: Gustavo

Ola, você teria algum livro para indicar, português e ou inglês?

Re:Livros

Data: 06-05-2013 | De: Marinho Lopes

Olá Gustavo. Depende do "nível" que deseja. Para um nível universitário, para quem já tem conhecimentos de cálculo integral e diferencial, aconselho, por exemplo, o livro do Strogatz de 1994, "Nonlinear Dynamics and Chaos". Tem também capítulos interessantes sobre a teoria das bifurcações e assuntos relacionados. Por um lado é um livro rigoroso do ponto de vista matemático, sem no entanto ser muito "pesado". Tem muitos exemplos, o que ajuda à compreensão daqueles que não têm uma forte formação matemática. No entanto, este livro não discute em muito detalhe a matemática dos fractais - não sei se será isso que pretende encontrar.

Se pretende um livro de divulgação (não técnico), então não lhe sei dizer, porque nunca li nenhum. Ainda assim, já vi uns dois documentários que lhe posso recomendar.

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