Um truque matemático para gulosos

10-04-2016 19:30

 

 

    Um dos aspetos mais apelativos da Matemática reside nas múltiplas formas que temos de apreciar esta ciência. A procura incessante por padrões, sejam eles numéricos, geométricos ou de outra natureza qualquer, pode constituir uma atividade altamente motivadora.

 

    Nas últimas décadas, a Matemática Recreativa tem vindo a assumir um papel de maior destaque na sensibilização da opinião pública para a importância da Matemática através da exploração da sua vertente prática por intermédio, por exemplo, de quebra-cabeças e de jogos matemáticos.

 

    Atualmente, a Matemática Recreativa assume-se mesmo como uma área de investigação em ascensão. Prova disso são os encontros internacionais Gathering 4 Gardner (EUA) e Gathering 4 Gardner Europe/Recreational Mathematics Colloquium (Portugal). Estes encontros decorrem em anos alternados e reúnem investigadores em Matemática Recreativa dos cinco continentes. Outro exemplo interessante é a revista Recreational Mathematics Magazine, disponível online em http://rmm.ludus-opuscula.org, que reúne artigos de grande qualidade.

 

    Neste texto, apresentamos um intrigante puzzle geométrico. Chama-se Missing Square e foi desenvolvido em 1953 pelo mágico nova-iorquino Paul Curry. Em Portugal, este puzzle integrou a coleção Jogos com História, distribuída pelo Público/Visão, da autoria de Carlos Pereira dos Santos, João Pedro Neto e Jorge Nuno Silva.

 

    Este quebra-cabeças é composto por quatro peças principais que admitem duas disposições diferentes e por um quadrado utilizado apenas na segunda disposição (Figuras A e B). Repare-se que ambas as arrumações parecem ajustar-se ao triângulo retângulo saliente no tabuleiro de madeira (note-se que um triângulo retângulo é um triângulo em que dois dos seus lados formam um ângulo reto, ou seja, um ângulo com medida de amplitude de 90 graus; esses lados designam-se por catetos, enquanto que o lado que se opõe ao ângulo reto chama-se hipotenusa). Na Figura A, as quatro peças parecem sobrepor de forma exata o triângulo retângulo saliente no tabuleiro, enquanto que na Figura B parece ser necessário um quadrado adicional. Aparentemente, trata-se de algo paradoxal, uma vez que as peças são as mesmas e, por esse motivo, devem ocupar a mesma área.

 

    Será este um paradoxo capaz de abalar todo o edifício matemático? A resposta é negativa. Trata-se, simplesmente, de uma ilusão de ótica. Se utilizarmos como unidade de medida o lado do quadrado, podemos calcular os declives das hipotenusas das duas peças em forma de triângulo retângulo (Figura C). A hipotenusa do triângulo mais pequeno tem declive 2/5 e a do maior, 3/8. Esta diferença constitui a chave para a compreensão do problema: em qualquer uma das duas arrumações, as hipotenusas das peças triangulares não estão alinhadas. No entanto, os nossos olhos não detetam essa diferença mínima. A figura D ilustra a solução para este enigma: as arrumações das Figuras A e B não são verdadeiramente triângulos, na medida em que as hipotenusas não são segmentos de reta, mas antes "linhas quebradas".

 

    Calculemos as áreas das diferentes peças. A área do quadrado (lado x lado) vale 1. As duas peças em forma de L são construídas a partir de 7 e de 8 quadrados, pelo que as suas áreas são, respetivamente, 7 e 8. Como a área de um triângulo retângulo é igual a metade do produto dos comprimentos dos dois catetos, de acordo com a figura C, as duas peças triangulares têm áreas iguais a 2x5/2=5 e 3x8/2=12.

 

    Ora, ao adicionarmos as áreas das quatro peças principais, chegamos à conclusão que a arrumação de peças da Figura A tem área igual a 32. Se adicionarmos a área do quadrado em madeira, obtemos 33, valor da área da arrumação de peças da Figura B. Por sua vez, se calcularmos a área do triângulo saliente no tabuleiro, obtemos 5x13/2=32,5. Ora, a diferença entre as áreas das duas configurações e a área do triângulo saliente no tabuleiro é mínima (1/2=0,5), como se ilustra na figura D, o que passa despercebido aos nossos olhos.

 

    Recentemente, tem circulado na Web um truque com uma tablete de chocolate, que se baseia no mesmo tipo de ilusão de ótica do Missing Square. O "truque do chocolate infinito" (https://youtu.be/1ozW0Ow1AZ0) apresenta, ao que parece, a fórmula secreta ideal para os mais gulosos: como retirar um quadradinho de um tablete de chocolate, deixando-a ficar exatamente igual ao que estava no início!

 

    Vejamos em que consiste este truque. Deve-se cortar uma tablete 4 por 6, de acordo com os cortes assinalados na Figura E. Em seguida, reorganizam-se as partes cortadas de forma a que a tablete continue a ter a configuração de 4 por 6, deixando-se um quadradinho de fora (Figuras F a H). Que fantástico! Foi possível retirar um quadradinho de chocolate, mantendo a tablete inalterada! Podemos, então, repetir este processo por toda a eternidade e nunca nos faltará chocolate!

 

    Será mesmo assim?

 

    Mais uma vez, trata-se de uma ilusão de ótica pois a área do quadradinho retirado corresponde à área da região indicada na Figura I, que está em falta no final do processo de corte e rearranjo das partes da tablete, pormenor que passa despercebido aos olhares menos atentos. Lamento informar os leitores mais gulosos que ainda não é desta que se encontrou a fórmula milagrosa do chocolate infinito!

 

 

Ricardo Cunha Teixeira (Docente/investigador no Departamento de Matemática da U. dos Açores e colaborador no CcT)

 

Página pessoal do autor: www.rteixeira.uac.pt

 

Ver artigo original em: http://sites.uac.pt/rteixeira/files/2015/07/Ricardo-C-Teixeira-A69.pdf

 

 

 

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