0.9(9)=1

19-05-2013 19:03

 

    Há uns anos atrás, quando aprendi as dízimas infinitas periódicas e me disseram que são números racionais, comecei a questionar-me:

 

    “Humm… Existe o teorema que diz que entre dois números racionais existe sempre um número irracional! Nesse caso, entre 0.(9) e 1, que número existe? Como pode ele existir?”

 

    A verdade é que não existe, porque eles são um só número, apenas representados de forma diferente.

 

    Uma forma simples de constatar isto é pensar:

 

 

  

    

    Se multiplicarmos por 3 dos dois “lados”…

 

    Como vêm, trata-se do mesmo número, mas “disfarçado”.

    

    É possível demonstrar de uma forma mais elegante, usando a soma de uma série infinita (tal como proposto nos comentários).

   

    Nesta demonstração usei o seguinte facto (progressão geométrica):

 

    Isto é muito fácil de demonstrar. Primeiro deixem-me explicitar o que significa o somatório (a letra gregra sigma maiúscula):

 

 

    Notem que se o módulo de r não for inferior a 1, esta soma dá infinito. Pode-se seguidamente fazer o seguinte “truque”:

    Logo:

    Portanto:

    E finalmente:

 

    O “truque” em causa permite-vos demonstrar muitos resultados de somas de séries.

 

 

Marinho Lopes (colaborador do Ciência com Todos e doutorando em Física) - texto primeiramente publicado no Blog do autor: Sophia of Nature.

 

Ver original em: https://sophiaofnature.wordpress.com/2011/05/11/0-991/

 

Tópico: Comentários

Dízimas infinitas periódicas

Data: 20-05-2013 | De: Graciete Virgínia Rietsch Monteiro Fernandes

Esta explicação percebi-a toda muito bem.

Um abraço.

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