O chocolate é uma das delícias favoritas dos mais gulosos. Pode ser consumido no formato de barra, em ovos e bombons, em achocolatados e como ingrediente de bolos, tartes, bolachas, mousses, gelados e outros doces.

    O chocolate é feito a partir do cacau. A sua origem remonta às civilizações pré-colombianas da América Central. O cacau era normalmente ingerido por sacerdotes em rituais religiosos. Com os Descobrimentos, foi levado para a Europa, onde alcançou grande popularidade a partir dos séculos XVII e XVIII. A elite europeia começou a adicionar-lhe açúcar, tornando-o menos amargo.

    O chocolate obtém-se de uma mistura que deve incluir cacau em pó ou manteiga de cacau. Essa mistura origina diferentes variedades de chocolate de acordo com os ingredientes e as proporções utilizadas. Destas variedades, destaca-se o chocolate negro (com pelo menos 70% de cacau, sem adição de leite), o chocolate de leite (leva leite em pó ou leite condensado, dependendo do fabricante) e o chocolate branco (feito com manteiga de cacau e leite, podendo ter aromas como o de baunilha).

    De tempos a tempos, encontramos um artigo de divulgação que alerta para os benefícios do chocolate, desde que este seja consumido em doses moderadas. Em geral, de entre as diferentes variedades, recomenda-se o consumo do chocolate negro porque tem menos açúcar e maior percentagem de cacau. É precisamente ao cacau que são atribuídos muitos dos benefícios do chocolate. Vejamos alguns exemplos: o consumo de chocolate estimula a produção de endorfinas que contribuem para o relaxamento e sensação de bem-estar; o cacau possui propriedades antioxidantes que podem ajudar a combater alguns tipos de cancro, como o cancro do intestino (alguns estudos apontam neste sentido, como o desenvolvido por investigadores da Universidade de Georgetown, nos Estados Unidos); o chocolate negro tem efeitos benéficos para o coração (cientistas da Universidade de Linkoping, na Suécia, descobriram que o cacau inibe uma enzima no organismo conhecida por elevar a pressão arterial); o consumo de chocolate durante gravidez pode ajudar a prevenir a hipertensão (de acordo com um estudo da Universidade Yale, nos Estados Unidos); ingerir chocolate pode aliviar a dor, atuando como analgésico natural (segundo um estudo da Universidade de Chicago, nos Estados Unidos); o leite com chocolate é uma das melhores bebidas para se recuperar da atividade física (de acordo com dois estudos realizados por investigadores da Universidade do Texas, nos Estados Unidos); entre outros benefícios.

    O consumo de chocolate pode mesmo ajudar no estudo da... Matemática! David Kennedy, co-autor de um trabalho de investigação desenvolvido na Universidade de Nortúmbria, no Reino Unido, sublinha que o chocolate pode ser benéfico para a realização de tarefas mentalmente desafiantes. Os flavonoides presentes no cacau aumentam o fluxo de sangue no cérebro, o que é uma grande vantagem no momento de realização de uma tarefa que requeira concentração mental. Os voluntários que participaram neste estudo ingeriram quantidades significativas de flavonoides, tendo manifestado menos propensão para o cansaço mental. Os resultados mostram, assim, que o chocolate pode ser benéfico na preparação para os exames.

    Mesmo que alguns destes estudos careçam de maior aprofundamento, a verdade é que as evidências apontam claramente para um leque significativo de benefícios resultantes do consumo moderado de chocolate, em particular, do negro. Sim, é possível saborear o seu quadrado de chocolate sem grandes culpas nem remorsos!

    Mas existem outras formas de apreciar o chocolate, para além do recurso ao paladar. A exploração das simetrias que encontramos em muitos bombons de chocolate também pode constituir uma atividade altamente motivadora. Analisamos, de seguida, as simetrias de alguns bombons de uma conhecida marca regional. Segue-se a lista de sabores: laranja (1); caramelo de beterraba (2); malagueta (3); frutos vermelhos (4); ananás dos Açores (5); pimenta da terra (6); noz e baunilha (7); capuchino (8); torrão de amendoim (9); coco (10); e doce de leite (11). Agradecemos, desde já a disponibilidade e simpatia do Tiago Alves, sócio-gerente da Alves Devine - O Chocolatinho (http://www.ochocolatinho.pt).

    Vamos analisar as simetrias dos bombons como se fossem figuras do plano. Todos eles são exemplos de rosáceas - figuras do plano que apresentam apenas simetrias de rotação e, em alguns casos, simetrias de reflexão (simetrias de espelho). Note-se que a rotação trivial de 360 graus (ou, se preferirmos, de 0 graus) é uma simetria de qualquer figura (porque a deixa invariante). Passamos a analisar as restantes simetrias dos onze bombons. Os primeiros cinco bombons (1-5) têm um eixo de simetria vertical. Por exemplo, ao colocarmos um espelho perpendicular à página do jornal, de modo a que a borda do espelho assente na reta vertical desenhada em 2, verificamos que cada lado da figura é, de facto, um reflexo do outro. Já os três bombons que se seguem (6-8) não têm eixos de simetria, mas apresentam em contrapartida uma simetria de meia-volta. De facto, se imaginarmos estas figuras "de pernas para o ar" (ou seja, se as rodarmos 360/2=180 graus em torno do seu centro), a sua configuração não se altera. Por sua vez, o bombom de torrão de amendoim (9) apresenta simetrias de rotação de 360/3=120 graus e dos seus múltiplos (120+120=240 e 120+120+120=360). Isto significa que se rodarmos o bombom em torno do seu centro segundo uma dessas amplitudes, a figura obtida sobrepõe-se por completo à inicial. Segue-se o bombom de coco (10), com uma simetria de meia-volta e duas simetrias de reflexão de eixos perpendiculares (um eixo vertical e outro horizontal que passam pelo centro da figura). Por fim, o bombom de doce de leite (11) tem 8 simetrias de rotação, com amplitude de 360/8=45 graus e dos seus múltiplos, e 8 simetrias de reflexão (todos os eixos de simetria passam pelo centro; 4 desses eixos separam pétalas consecutivas; os restantes 4 cortam pétalas opostas ao meio).

    Afinal o chocolate encerra mais maravilhas do que à primeira vista poderíamos pensar!

Ricardo Cunha Teixeira (docente/investigador no Departamento de Matemática da U. dos Açores e colaborador do CcT)

Página pessoal do autor: www.rteixeira.uac.pt

Ver artigo original em: http://sites.uac.pt/rteixeira/files/2015/07/Ricardo-C-Teixeira-A70.pdf

    Um dos aspetos mais apelativos da Matemática reside nas múltiplas formas que temos de apreciar esta ciência. A procura incessante por padrões, sejam eles numéricos, geométricos ou de outra natureza qualquer, pode constituir uma atividade altamente motivadora.

    Nas últimas décadas, a Matemática Recreativa tem vindo a assumir um papel de maior destaque na sensibilização da opinião pública para a importância da Matemática através da exploração da sua vertente prática por intermédio, por exemplo, de quebra-cabeças e de jogos matemáticos.

    Atualmente, a Matemática Recreativa assume-se mesmo como uma área de investigação em ascensão. Prova disso são os encontros internacionais Gathering 4 Gardner (EUA) e Gathering 4 Gardner Europe/Recreational Mathematics Colloquium (Portugal). Estes encontros decorrem em anos alternados e reúnem investigadores em Matemática Recreativa dos cinco continentes. Outro exemplo interessante é a revista Recreational Mathematics Magazine, disponível online em http://rmm.ludus-opuscula.org, que reúne artigos de grande qualidade.

    Neste texto, apresentamos um intrigante puzzle geométrico. Chama-se Missing Square e foi desenvolvido em 1953 pelo mágico nova-iorquino Paul Curry. Em Portugal, este puzzle integrou a coleção Jogos com História, distribuída pelo Público/Visão, da autoria de Carlos Pereira dos Santos, João Pedro Neto e Jorge Nuno Silva.

    Este quebra-cabeças é composto por quatro peças principais que admitem duas disposições diferentes e por um quadrado utilizado apenas na segunda disposição (Figuras A e B). Repare-se que ambas as arrumações parecem ajustar-se ao triângulo retângulo saliente no tabuleiro de madeira (note-se que um triângulo retângulo é um triângulo em que dois dos seus lados formam um ângulo reto, ou seja, um ângulo com medida de amplitude de 90 graus; esses lados designam-se por catetos, enquanto que o lado que se opõe ao ângulo reto chama-se hipotenusa). Na Figura A, as quatro peças parecem sobrepor de forma exata o triângulo retângulo saliente no tabuleiro, enquanto que na Figura B parece ser necessário um quadrado adicional. Aparentemente, trata-se de algo paradoxal, uma vez que as peças são as mesmas e, por esse motivo, devem ocupar a mesma área.

    Será este um paradoxo capaz de abalar todo o edifício matemático? A resposta é negativa. Trata-se, simplesmente, de uma ilusão de ótica. Se utilizarmos como unidade de medida o lado do quadrado, podemos calcular os declives das hipotenusas das duas peças em forma de triângulo retângulo (Figura C). A hipotenusa do triângulo mais pequeno tem declive 2/5 e a do maior, 3/8. Esta diferença constitui a chave para a compreensão do problema: em qualquer uma das duas arrumações, as hipotenusas das peças triangulares não estão alinhadas. No entanto, os nossos olhos não detetam essa diferença mínima. A figura D ilustra a solução para este enigma: as arrumações das Figuras A e B não são verdadeiramente triângulos, na medida em que as hipotenusas não são segmentos de reta, mas antes "linhas quebradas".

    Calculemos as áreas das diferentes peças. A área do quadrado (lado x lado) vale 1. As duas peças em forma de L são construídas a partir de 7 e de 8 quadrados, pelo que as suas áreas são, respetivamente, 7 e 8. Como a área de um triângulo retângulo é igual a metade do produto dos comprimentos dos dois catetos, de acordo com a figura C, as duas peças triangulares têm áreas iguais a 2x5/2=5 e 3x8/2=12.

    Ora, ao adicionarmos as áreas das quatro peças principais, chegamos à conclusão que a arrumação de peças da Figura A tem área igual a 32. Se adicionarmos a área do quadrado em madeira, obtemos 33, valor da área da arrumação de peças da Figura B. Por sua vez, se calcularmos a área do triângulo saliente no tabuleiro, obtemos 5x13/2=32,5. Ora, a diferença entre as áreas das duas configurações e a área do triângulo saliente no tabuleiro é mínima (1/2=0,5), como se ilustra na figura D, o que passa despercebido aos nossos olhos.

    Recentemente, tem circulado na Web um truque com uma tablete de chocolate, que se baseia no mesmo tipo de ilusão de ótica do Missing Square. O "truque do chocolate infinito" (https://youtu.be/1ozW0Ow1AZ0) apresenta, ao que parece, a fórmula secreta ideal para os mais gulosos: como retirar um quadradinho de um tablete de chocolate, deixando-a ficar exatamente igual ao que estava no início!

    Vejamos em que consiste este truque. Deve-se cortar uma tablete 4 por 6, de acordo com os cortes assinalados na Figura E. Em seguida, reorganizam-se as partes cortadas de forma a que a tablete continue a ter a configuração de 4 por 6, deixando-se um quadradinho de fora (Figuras F a H). Que fantástico! Foi possível retirar um quadradinho de chocolate, mantendo a tablete inalterada! Podemos, então, repetir este processo por toda a eternidade e nunca nos faltará chocolate!

    Será mesmo assim?

    Mais uma vez, trata-se de uma ilusão de ótica pois a área do quadradinho retirado corresponde à área da região indicada na Figura I, que está em falta no final do processo de corte e rearranjo das partes da tablete, pormenor que passa despercebido aos olhares menos atentos. Lamento informar os leitores mais gulosos que ainda não é desta que se encontrou a fórmula milagrosa do chocolate infinito!

Ricardo Cunha Teixeira (Docente/investigador no Departamento de Matemática da U. dos Açores e colaborador no CcT)

Página pessoal do autor: www.rteixeira.uac.pt

Ver artigo original em: http://sites.uac.pt/rteixeira/files/2015/07/Ricardo-C-Teixeira-A69.pdf

    Nas primeiras três partes deste artigo falei-vos de vários conjuntos diferentes de números (parte I, parte II, parte III), e na quarta parte foquei-me em alguns números em particular, nomeadamente o zero, o pi, e o número de ouro (ver também A Mitologia e a Verdade da Razão de Ouro). Nesta quinta e última parte vou-me debruçar sobre outros números especiais que serão eventualmente menos conhecidos, mas não menos fascinantes.

    O número de Euler (também conhecido como número de Neper, número de Napier, número neperiano, ou número exponencial) é normalmente apresentado na escola como sendo o resultado do seguinte limite:

    Permitam-me explicar o que é isto para quem não sabe: está-se a considerar o limite da expressão quando 'n' tende para infinito. A expressão em causa é uma potência de base (1+1/n) e expoente 'n', que é uma forma compacta de dizer que a base se multiplica por si própria 'n' vezes. Claramente, quando se tem uma fracção em que o denominador (a parte de baixo) tende para infinito, e o numerador é um número finito, então a fracção tende para zero, porque está-se a dividir um dado número por algo infinitamente maior (é como dividir uma piza num número 'n' de fatias: como podem imaginar o tamanho de cada fatia tende para zero à medida que se aumenta o número 'n' de cortes). Portanto, o resultado da expressão de cima seria claro se retirássemos o expoente 'n' da expressão (daria 1+0=1). Por outro lado, se não tivéssemos a fracção, então seria 1 com expoente 'n', que é o mesmo que dizer que multiplicaríamos 1 por si próprio 'n' vezes, o que daria sempre 1 mesmo que o multiplicássemos infinitas vezes. Contudo, quando consideramos tanto a fracção como o expoente, como representado, o problema não é assim tão simples. À medida que a base (1+1/n) diminui, o expoente 'n' aumenta, logo poderão assumir que o resultado tem que ser um número maior que 1 (porque a base é sempre maior que 1 para qualquer 'n' maior que 0). De facto assim é, o limite desta função de 'n' tende para aproximadamente 2.718, o número de Euler (são conhecidos mais de 1 bilião de dígitos deste número). Este número é uma dízima infinita não periódica e trata-se de um número transcendente (ver parte I). É normalmente representado pela letra 'e', sendo usado como base na função exponencial (a função exponencial é um caso particular de uma potência em que a base é o número de Euler). Consequentemente, é também usado como a base dos logaritmos naturais, que me vou abster de explicar aqui. Para quem aprendeu expansões de Taylor, saberá que este número também pode ser representado como a seguinte soma infinita:

onde o ponto de exclamação representa a operação "factorial", em que o número natural em causa é multiplicado por todos os números naturais menores que ele. Por exemplo, 5!=5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 20 x 6 = 120.

    É possível representar este número de muitas outras formas. Deixo-vos aqui mais uma:

    Qual a relevância do número de Euler? O facto de poder ser representado de muitas formas já vos dá um indício: é um número que aparece em muitas áreas distintas da Matemática, até mais que o próprio pi! Dou-vos mais um exemplo: se calcularem quantos números têm que escolher em média entre 0 e 1 para que a sua soma seja superior a 1, obtêm o número de Euler.

    Refiro ainda que o número de Euler aparece também na identidade de Euler, a equação que é considerada a mais bela da Matemática:

    A beleza está naturalmente na sua simplicidade e no seu poder. Numa só igualdade aparecem-nos aqueles que são eventualmente os 5 símbolos mais importantes da Matemática: o zero, a unidade, o pi, o número de Euler, e a unidade imaginária (ver parte II).

    Leonhard Euler (1707-1783), matemático suíço, considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos, sendo também o matemático mais prolífico de sempre. Como viria a dizer Laplace (matemático francês): "Leiam Euler, leiam Euler, ele é o mestre de todos nós."

    Na parte III falei-vos de números normais e disse-vos que se pensa que, por exemplo, o pi e o número de Euler sejam dois números normais. Mas já se conseguiu provar a "normalidade" de algum número? Sim! O número de Champernowne foi o primeiro número a ser demonstrado como sendo normal (tendo sido construído para o ser). Este número é formado por todos os números naturais em sequência, começando com 0., ou seja:

    0.123456789101112131415...

    Esta construção garante que todos os 10 dígitos aparecem com a mesma frequência, o que faz com que se trate de um número normal. O número foi "descoberto"/ "inventado" por David Champernowne (1912-2000) em 1933, quando este era ainda apenas um estudante universitário em Cambridge. Quatro anos depois, o matemático alemão Kurt Mahler (1903-1988) provou que o número era também transcendental.

    O penúltimo número de que vos quero falar é a constante de Feigenbaum (4.669201...). Mitchell Feigenbaum (1944-?) descobriu esta constante universal em 1975 quando estudava uma fórmula simples para descrever o crescimento de uma população (conhecido como mapa logístico). Em modelos deste tipo, a população pode crescer ou extinguir-se, dependendo de parâmetros que podem ser alterados. Dependendo do parâmetro, a população pode convergir para um dado número, ou alternativamente oscilar (isto é, o número de "indivíduos" pode fixar-se num dado número, ou então oscilar no tempo). À medida que se altera esse parâmetro, a população pode oscilar entre 2 valores, entre 4, entre 8... De cada vez que aparece o dobro das possibilidades, diz-se que o sistema sofreu uma bifurcação. Até que a população pode oscilar entre tantos valores que o sistema se torna caótico. Como expliquei no artigo sobre a Teoria do Caos, um sistema caótico tem a propriedade de ser imprevisível, porque uma pequena alteração nas condições iniciais conduz a desfechos completamente diferentes. As bifurcações não ocorrem ao acaso em função do tal parâmetro, sendo a sua posição relativa definida pela constante de Feigenbaum. Trata-se de uma constante universal porque não só aparece neste sistema, como na verdade surge em todos os sistemas do mesmo género.

    Quando Feigenbaum fez a sua descoberta, chamou os pais e disse-lhes que tinha "descoberto algo verdadeiramente notável",

e que quando o compreendesse, fazê-lo-ia "um homem famoso".

    Para concluir, deixo-vos o googol, que é o nome que Edward Kasner (1878-1955) deu à centésima potência de 10, ou seja, ao resultado de 10 a multiplicar por si próprio 100 vezes, isto é, um 1 seguido de 100 zeros. O nome foi inventado pelo sobrinho de Kasner, Milton Sirotta, quando tinha 9 anos: Kasner pediu-lhe para ele inventar uma palavra para um número muito grande. Apesar do número não ter qualquer importância especial em Matemática, é um número útil como referência e, principalmente, para cativar o interesse do público em geral. Note-se que este número é superior ao número de átomos que compõe todas as estrelas visíveis! Por outro lado, se contarmos o número possível de jogos diferentes que se podem jogar em xadrez, obtemos um número maior que googol!

    Como talvez saibam, o nome da empresa Google foi inspirado no nome deste número. Já agora acrescento ainda que se dá o nome de googolplex a 1 seguido de googol zeros (ou 10 com potência de googol). Um número extremamente grande, mas que ainda assim é inferior a infinitos números maiores que ele, num universo de números fascinantes.

"Não há já problemas suficientes no mundo?"

    Marinho Lopes (colaborador do Ciência com Todos e doutor em Física pela U. de Aveiro) - texto primeiramente publicado no blog do autor: Sophia of Nature.

    Ver original em: https://sophiaofnature.wordpress.com/2016/01/16/o-fascinio-dos-numeros-parte-v/

    No passado dia 16 de junho pelas 18 horas, no Centro Municipal de Cultura de Ponta Delgada, decorreu a sessão de lançamento do livro Grupos de Simetria: Identificação de Padrões no Património Cultural dos Açores, uma publicação conjunta da Associação Ludus e da Editora Apenas Livros, da autoria de Ricardo Cunha Teixeira, Susana Goulart Costa e Vera Raposo Moniz.

    Este livro apresenta uma primeira parte de fundamentação teórica, em que se contextualizam os conceitos de isometria e de simetria, dois temas do Programa de Matemática do Ensino Básico, e em que se explicita a classificação de uma figura do plano quanto ao seu grupo de simetria. Prova-se, por exemplo, que só existem 7 maneiras de repetir um motivo ao longo de uma faixa, o que se traduz nos 7 tipos possíveis de frisos. Na segunda parte desta obra, apresenta-se uma recolha exaustiva dos padrões em calçada dos 6 concelhos da Ilha de São Miguel. Figuram também, nesta parte do trabalho, diversos roteiros das calçadas e varandas de Ponta Delgada e dos azulejos da Lagoa. O livro pode ser adquirido através do email ludus@ludicum.org ou da página Web http://apenas-livros.com.

    No mesmo dia do lançamento do livro, foi apresentado o Roteiro de Varandas da Cidade de Ponta Delgada, dos mesmos autores, que conta com o apoio da Câmara Municipal de Ponta Delgada. Este roteiro pode ser adquirido de forma gratuita no hall da Câmara Municipal de Ponta Delgada ou no Centro Municipal de Cultura desse concelho. O roteiro está disponível em formato PDF no endereço: http://sites.uac.pt/rteixeira/simetrias . Esta página Web, intitulada Simetrias nos Açores, também contempla o levantamento dos padrões em calçada dos Açores, concluído no final de 2013. Todas as 9 ilhas do Arquipélago foram contempladas com pelo menos um roteiro de simetria das suas calçadas. Os itinerários de simetria, bem como alguns textos de apoio e diversas notícias publicadas sobre o assunto, estão disponíveis nesta página, onde também é possível encontrar muita informação sobre as simetrias no artesanato, na azulejaria e nas varandas.

    Como já foi referido, existem 7 tipos de frisos. Daí que um dos objetivos do levantamento realizado nos Açores passou por identificar as cidades açorianas com mais tipos de frisos nas suas calçadas e nas suas varandas. No que diz respeito às calçadas, a cidade de Angra do Heroísmo (com todos os 7 tipos de frisos), a cidade da Horta (com 6 tipos de frisos) e a cidade de Ponta Delgada (com 5 tipos) lideravam a lista das cidades e vilas açorianas. Um feito relevante, não só do ponto de vista científico como também turístico, passaria por várias cidades açorianas alcançarem a totalidade dos tipos de frisos nas suas calçadas. As três autarquias em causa demonstraram interesse em atingir este objetivo. A cidade de Angra do Heroísmo foi a primeira a adquirir o estatuto de "Cidade dos 7 frisos em calçada", em junho de 2014. O feito foi alvo de publicação numa revista internacional. As cidades da Horta e de Ponta Delgada deverão seguir as pisadas de Angra muito em breve.

    No que às varandas diz respeito, Angra do Heroísmo apresenta 5 tipos diferentes de frisos nas fachadas das suas habituações (o Roteiro de Varandas da Cidade Património da Humanidade foi lançado em janeiro de 2014). Já Ponta Delgada apresenta 6 tipos diferentes de frisos.

    De seguida, apresenta-se em traços gerais um exemplo de cada um dos 6 tipos de frisos detetados nas varandas de Ponta Delgada e que estão contemplados no roteiro. Ao observar a varanda do Liceu Antero de Quental (Exemplo A), reparamos que há um motivo que se repete ao longo de uma faixa, com o mesmo espaçamento entre cópias consecutivas (a figura apresenta, por isso, simetrias de translação numa única direção, propriedade que é comum a todos os frisos). Não existem outras simetrias desta figura.

    Ao observar a fachada do Coliseu Micaelense (Exemplo B), encontramos uma varanda que, para além da repetição do motivo ao longo da faixa, apresenta simetrias de reflexão vertical (se tivermos em conta a reta representada em B e dobrarmos a figura segundo essa reta, há uma sobreposição completa das duas metades do plano definidas pela reta, facto que também pode ser comprovado se colocarmos um espelho com o bordo assente nessa reta; outros eixos de simetria verticais podem ser identificados ao longo do friso).

    Por seu turno, o Exemplo C corresponde a uma faixa de uma varanda na Rua Dr. Aristides da Mota. Podemos observar a existência de simetrias de reflexão deslizante, que produzem um efeito de alternância semelhante às marcas das nossas pegadas quando caminhamos descalços na areia.

    Já o Exemplo D, uma faixa de uma varanda da Rua de São João, apresenta simetrias de meia-volta, ou seja, simetrias de rotação de 180 graus (isto significa que, se virarmos a figura de pernas ao ar, a sua configuração não se altera).

    Por fim, a varanda do Exemplo E, localizada na Rua Dr. Aristides da Mota, e a faixa do Exemplo F, que pertence a uma varanda do Largo Vasco Bensaúde, apresentam ambas simetrias de meia-volta. Para além disso, têm também simetrias de reflexão vertical (com direção perpendicular à do friso), mas apenas a primeira apresenta simetria de reflexão horizontal (com a mesma direção do friso). Em E, identificou-se o eixo de simetria horizontal.

    Nas varandas de Ponta Delgada, apenas está em falta um tipo de friso, que se caracteriza pela existência de um eixo de simetria horizontal, sem simetrias de meia-volta (algo do género:  ... >>>>>>>...). No dia do lançamento do Roteiro de Varandas em Ponta Delgada, os autores convidaram, em tom de brincadeira, algum morador desse concelho a alterar uma das suas varandas de forma a que Ponta Delgada possa alcançar o estatuto de "Cidade dos 7 frisos nas suas varandas". Certo é que, desde então, já surgiram moradores interessados!

Ricardo Cunha Teixeira (Docente/investigador no Departamento de Matemática da U. dos Açores e colaborador no CcT)

Página pessoal do autor: www.rteixeira.uac.pt

Ver artigo original em: http://sites.uac.pt/rteixeira/files/2015/06/Ricardo-C-Teixeira-A68.pdf

PDF do Roteiro em: http://sites.uac.pt/rteixeira/files/2015/06/Roteiro-Varandas-PDL-A.pdf

    Já vos falei de números naturais, inteiros, racionais, irracionais, transcendentais, reais (primeira parte), imaginários, complexos, transfinitos, primos (segunda parte), perfeitos, amigos, e normais (terceira parte). Não esgotei o tema sobre conjuntos de números, mas opto agora dirigir a vossa atenção para certas individualidades: números que por algum motivo se distinguem dos outros por terem certas propriedades especiais. Passemos a conhecê-los.

    Começo pelo zero, 0. Este número surgiu depois dos outros por uma razão simples: se os números servem essencialmente para contar ou medir algo, para que precisamos de um número que representa o "nada"? Num sistema de algarismos com repetição simbólica, o zero como algarismo torna-se de imediato necessário, mesmo que pensemos que não precisamos dele para contar o "nada". O que quero dizer com "repetição simbólica"? É fácil, para representar as unidades, as dezenas, as centenas, etc., usamos sempre os mesmos símbolos, isto é, os algarismos (de 0 a 9). Imaginemos que não tínhamos o zero, e que usávamos apenas os algarismos de 1 a 9. Como representar o número 9+1? 9 é o maior algarismo da nossa base, portanto passamos para as dezenas, e ficamos com uma dezena. O zero torna-se aqui necessário, para que o número resultante indique que temos uma dezena, e nenhuma unidade. Reparem que o que nosso sistema numérico faz é algo bastante simples: decompõe um dado número em potências de dez (sistemas com outras bases decompõe os
números em potências da base respectiva).

    Onde 'a', 'b', 'c' e 'd' são algarismos de 0 a 9.

    Os babilónios foram talvez os primeiros a reconhecer a necessidade de ter um algarismo que tivesse o papel do nosso 0, pois na sua representação numérica usavam um espaço em branco para o representar. No entanto, tornava-se pouco claro contar os espaços em branco e com isso distinguir números como 201 e 2001 (nota: os babilónios não usavam estes símbolos numéricos, claro, mas a ideia é a mesma; na figura abaixo podem apreciar os símbolos que eles usavam). Por isso, mais tarde, inventaram mesmo de facto um símbolo para substituir os espaços em branco. Este sistema numérico remonta a cerca de 2000 a.C., mas não se sabe bem quando é que surgiu o símbolo para o algarismo zero. Note-se, porém, que não há indícios de que tenham reconhecido a necessidade do zero como número (ou seja, era apenas usado como algarismo para representar outros números).

Numerais babilónios.

    Da História que sobreviveu até aos nossos dias, encontra-se o manuscrito de Bakhshali (uma região que pertencia à Índia, mas que agora faz parte do Paquistão). Este é um manuscrito extremamente importante, porque é o mais antigo documento que retrata a antiga matemática indiana. Não se sabe bem em que data foi criado, mas crê-se que tenha sido entre os séculos II e IV. Nele podemos ver o uso de aritmética, geometria e álgebra. Em particular, surge-nos também o zero a ser usado para problemas matemáticos (tomando por isso o papel de número e não meramente de algarismo).

Numerais usados no manuscrito de Bakhshali.

    Não obstante, o número zero só surge mais tarde de forma inquestionável em documentos do matemático indiano Brahmagupta (598-668), onde ele explica que um número subtraído a si próprio dá zero, e qualquer número multiplicado por zero dá zero.

    (Note-se que o algarismo zero também foi descoberto/ inventado pela civilização Maia no século VII, no entanto, o zero que "conquistou" o mundo foi o indo-arábico, em conjunto com os outros algarismos indo-arábicos, como referi na parte I).

    Depois do zero, tenho que naturalmente falar daquele que todos vós sabeis ser um número incontornável: o pi (π).

    O π é a primeira e talvez a única constante que a maioria das pessoas aprende na escola, e que relaciona o perímetro e o diâmetro de uma qualquer circunferência:

Perímetro = π x Diâmetro

    Como sabem, o π é aproximadamente 3.14, o que significa que o comprimento da linha que delimita um círculo é sempre cerca de três vezes maior que uma "corda" que passe pelo centro da circunferência (recordo que uma "corda" é um segmento de recta que une dois pontos distintos situados na circunferência).

    Ninguém inventou este número, ele emerge da geometria! Não apenas nos dá o perímetro, como também a área do círculo, a área de uma superfície esférica, o volume de uma esfera, e até mesmo para lá da esfera, em hipocicloides (ver figura abaixo), e muitas outras "estranhas" curvas e figuras geométricas. Mesmo para lá da geometria, o π surge-nos em imensas áreas da Matemática (em Teoria de Números; em íntima relação com os números complexos; etc.), e também na Física (relacionado com muitas quantidades que não aparentam ter qualquer relação com círculos).

Hipocicloide de k=3, em que k é a razão entre os raios da circunferência maior e menor. Com outras razões encontram-se outros hipocicloides.

    Também no caso do π, a História remonta aos babilónicos, os quais parecem ter compreendido que se tratava de uma constante, a qual estimaram em 3.125. Por volta do ano 250 a.C., o matemático e físico grego Arquimedes de Siracusa (287 a.C. - 212 a.C.) chegou à primeira estimativa matematicamente correcta conhecida de um intervalo para esta constante. De acordo com Arquimedes, π teria que ser um número entre 273/71 e 22/7.

    Esta constante só foi baptizada como π em 1706 pelo matemático galês William Jones (1675-1749; amigo de Isaac Newton). Poucos anos antes, em 1673, o grande matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) chegou a uma fórmula matemática para determinar o π:

    Até o próprio Newton reconheceu o génio de Leibniz por tal descoberta (apesar das suas divergências que já referi neste artigo).

    Trata-se na verdade de um caso particular da expansão em série para o arcotangente de um qualquer ângulo. Usando-se o ângulo de π/4 (corresponde a 45º), obtém-se a fórmula de cima. Curiosamente, o matemático escocês James Gregory (1638-1675) tinha chegado à mesma fórmula dois anos antes de Leibniz, mas não reparou no caso especial para obter o π. Mais recentemente descobriu-se que na verdade já antes de Leibniz e de Gregory, um matemático indiano do século XIV ou século XV tinha chegado à mesma fórmula (pensa-se que possa ter sido o grande matemático indiano Nilakantha Somayaji (1444-1544), que, entre outras coisas, estudou as expansões em séries numéricas de várias funções trigonométricas). É interessante notar que pelo menos estas três pessoas, em contextos culturais distintos, conseguiram chegar de forma independente ao mesmo resultado - uma prova do carácter universal da
Matemática.

    Note-se que a série numérica de cima converge, porque os novos termos adicionados são cada vez menores, pelo que, apesar da série continuar até ao infinito, pi é um número finito (ainda que representado por uma dízima infinita, ou seja, uma sequência infinita de algarismos). Actualmente, com a ajuda dos computadores, são conhecidos mais de um trilião de dígitos. Este ano (a 21 de Março de 2015), um indiano de apenas 21 anos, Rajveer Meena, conseguiu o record mundial do Guinness pela recitação de 70 mil dígitos. (Alegadamente, o japonês Akira Haraguchi terá recitado 100 mil dígitos em 2006, mas o record não foi reconhecido pelo Guinness.)

    Para concluir este artigo, refiro ainda sumariamente o número de ouro, do qual já falei em detalhe no artigo A Mitologia e a Verdade da Razão de Ouro, e para o qual remeto o leitor. Aqui acrescento apenas um detalhe que não mencionei nesse artigo: o "O Olho de Deus".

    Na imagem de cima, tem-se um rectângulo dourado, ou seja, um rectângulo cuja razão dos lados é igual ao número de ouro. Como explicado no artigo supracitado, se removermos um quadrado ao rectângulo dourado, obtemos um outro rectângulo dourado mais pequeno, ao lado do quadrado (como na figura de cima). Este processo de retirar quadrados a um rectângulo e obter rectângulos semelhantes ao inicial (isto é, com a mesma razão entre os dois lados), só é possível com o rectângulo dourado. À medida que se continua o processo de remover quadrados aos rectângulos dourados mais pequenos, verificamos que estes convergem para um ponto. Este ponto coincide sempre com a intersecção da diagonal do rectângulo maior, com a diagonal do rectângulo "filho" (após remoção de um quadrado). A este ponto deu-se o nome de "Eye of God" (Olho de Deus). (Acrescento que pode-se ainda provar que a razão entre as diagonais consecutivas coincide também com o número de ouro.)

    Na próxima parte, que será provavelmente a última, irei falar de outras constantes menos conhecidas, mas não menos fascinantes.

Tradução: "Isso mesmo, decidi este ano dar um aumento de zero ao meu ordenado."

Marinho Lopes (colaborador do Ciência com Todos e doutor em Física pela U. de Aveiro) - texto primeiramente publicado no blog do autor: Sophia of Nature.

Ver original em: https://sophiaofnature.wordpress.com/2015/12/11/o-fascinio-dos-numeros-parte-iv/

    Com as festividades associadas à época natalícia e à passagem de ano, muitos são os excessos que se cometem, nomeadamente por aqueles que são mais gulosos. Bolos, pudins, gelados, bombons... Enfim, não faltam pretextos para esquecer a dieta por uns tempos. 

    À parte das preocupações em "manter a linha", há muitos aspetos em que a Matemática pode ser útil quando pensamos em guloseimas. Desde logo na confeção de uma sobremesa. Por exemplo, se quisermos fazer "receita e meia" ou mesmo "dobrar a receita", aplicamos a conhecida regra de três simples, que se baseia no princípio de proporcionalidade direta. Se a receita refere meio quilo de manteiga e queremos fazer "receita e meia", temos que utilizar 0, 75 quilos de manteiga. Já se quisermos dobrar a receita, precisamos de 1 quilo de manteiga. Cálculos simples como este são feitos nas nossas cozinhas a toda a hora, não só para medir os ingredientes, mas também para estimar o tempo de cozedura, por exemplo.

    Para além destes cálculos elementares, muitos outros aspetos têm sido objeto da atenção de alguns matemáticos ao longo dos tempos. Um exemplo curioso prende-se com a forma como são partidas as fatias de um bolo e como são distribuídas pelos convidados numa festa. Nuno Crato, autor do livro "A Matemática das Coisas", refere alguns aspetos curiosos. Desde logo, para evitar que alguém se possa queixar do resultado da partilha, o melhor método designa-se por "um parte, outro escolhe" e consiste em duas etapas: um dos convidados divide o bolo e o outro escolhe a sua fatia. De facto, é do interesse do primeiro fazer a divisão da forma mais equitativa possível, pois, caso contrário, ficará com certeza com o pior pedaço. Esta é uma sábia solução para o problema, pois, mesmo que os dois convidados sejam movidos pelo egoísmo, a verdade é que acabam por colaborar de forma a que nenhum fique prejudicado. Mas, se o problema se colocar a mais de dois convidados? A solução já não é assim tão simples. O desenvolvimento deste tipo de algoritmos acaba por ter aplicações em muitas outras áreas, desde a simples partilha de uma herança às negociações de desarmamento ou ao estabelecimento de fronteiras entre países.

    Outro método de partilha interessante foi proposto pelos matemáticos Stefan Banach (1892-1945) e Bronis-law Knaster (1893-1980). Supondo que existem n convidados, um deles parte uma fatia que pensa representar 1/n da totalidade do bolo. De seguida, essa fatia passa pelos restantes convidados. Cada um deles deve escolher uma de duas ações: 1) se considerar que o pedaço de bolo corresponde a mais de 1/n, deve cortar o excesso, colocar esse excesso de volta no prato principal e passar a fatia de bolo ao convidado seguinte; 2) se considerar que a fatia de bolo representa um valor igual ou inferior a 1/n, deve passar a fatia ao convidado seguinte. Depois de dar a volta completa, a última pessoa a ter cortado a fatia ou parte da fatia de bolo é obrigada a aceitar essa fatia. Repete-se este procedimento para os restantes n-1 convidados. 

    Outro método ainda mais simples designa-se por "algoritmo da faca deslizante". Uma pessoa desloca uma faca sobre o bolo até que um dos outros convidados diga "Pára!" e reclame a fatia de bolo correspondente. O processo prossegue até que um outro convidado reclame nova fatia, e assim sucessivamente. 

    Vejamos, agora, um método muito interessante para manter um bolo sempre fresco. Note-se que a forma tradicional de cortar um bolo é propícia a que, com o passar do tempo, este fique seco junto da zona de corte. O método inovador foi inventado por Francis Galton (1822-1911), matemático e estatístico inglês, primo de Charles Darwin. O seu texto "Cutting a Round Cake on Scientific Principles", publicado na edição de 20 de dezembro de 1906 da conceituada revista Nature, foi divulgado recentemente por Alex Bellos, num vídeo do canal de YouTube "Numberphile": http://youtu.be/wBU9N35ZHIw. Agradeço à colega Ana Paula Garrão, do Departamento de Matemática da Universidade dos Açores, por me ter chamado a atenção para este vídeo.

    Francis Galton, como qualquer britânico que se preze, era adepto da hora do chá. E a acompanhar o chá vai sempre bem uma fatia de bolo! O tema é, portanto, pertinente neste contexto. Segundo as palavras do próprio Galton, "o Natal sugere bolos e daí o meu desejo de partilhar um método de os cortar que desenvolvi recentemente para minha própria diversão e satisfação". O autor salienta que o método é ideal para ser aplicado a um bolo redondo, envolvendo duas pessoas com apetite moderado. A preocupação de Galton foi a de deixar um mínimo de superfície exposta, que inevitavelmente se torna seca com o passar do tempo. Para tal, as partes que restam do bolo, depois do corte, devem poder encaixar-se umas nas outras. 

    As figuras 1 a 8 ilustram este método inovador que, estranhamente, continua desconhecido ao cidadão comum. As fatias devem ser cortadas de um lado ao outro do bolo (figura 1). Se olharmos de cima, o bolo utilizado tem o formato de um círculo. Cada fatia cortada é limitada por duas retas paralelas e deve conter o centro do círculo. A ideia é cortar uma fatia e, de seguida, juntar as duas partes que sobraram, unindo-as, se necessário, com um elástico, de modo a sobrepor as zonas do corte (figura 2). Da próxima vez que nos queiramos deliciar novamente com o bolo, devemos fazer novo corte com as mesmas características do anterior, mas agora com direção perpendicular (figuras 3 a 5), e assim sucessivamente (figuras 6 a 8). 

    Deixo aos mais curiosos o link de um vídeo sobre o tema, feito pelos meus alunos Carla Medeiros, Ivo Jarimba e Sofia Amaral, no âmbito  da disciplina Aplicações da Matemá-tica, da licenciatura em Educação Básica da Universidade dos Açores: http://youtu.be/7zvw9RdbjO8.

    Experimente aplicar este método em sua casa e delicie-se com uma fatia de bolo, sempre fresco!

Ricardo Cunha Teixeira (Docente/investigador no Departamento de Matemática da U. dos Açores e colaborador no CcT)

Página pessoal do autor: www.rteixeira.uac.pt

Ver artigo original em: http://www.tribunadasilhas.pt/index.php/opiniao/item/9417-como-manter-um-bolo-sempre-fresco

    Nesta época festiva, é grande a azáfama. Há que encontrar as prendas certas para as pessoas de quem gostamos. Os mais organizados planeiam a compra das prendas com bastante antecedência e procuram os artigos com o melhor preço. "Bom e Barato" é a máxima que mais se houve e que cada um tenta levar muito a sério em tempos de crise.

    Inevitavelmente a compra de algumas prendas vai sendo adiada até às vésperas do dia 24 de dezembro. À última hora conseguimos comprar o que entendemos ser a prenda ideal ou, pelo menos, a possível! Depois de reunidas as prendas em casa, passamos à fase seguinte. Devemos verificar se todas têm o nome do feliz contemplado e quais as prendas que ainda não estão embrulhadas. Há quem seja mais habilidoso e faça questão de oferecer prendas embrulhadas a preceito e há quem seja mais prático e despachado. De uma maneira ou de outra, poupar nos materiais utilizados (nomeadamente, no papel de embrulho e na fita adesiva) parece ser uma boa ideia nos dias que correm.

    Neste artigo, mostramos como podemos embrulhar um presente de Natal de modo a poupar no papel de embrulho e na fita adesiva e, simultaneamente, a produzir uma bonita embalagem. E tudo isto com a ajuda da Matemática!

    O método apresentado foi desenvolvido pela Dra. Sara Santos, uma portuguesa a viver atualmente no Reino Unido. De alguns anos a esta parte, esta matemática coordena uma iniciativa muito interessante, designada por Maths Busking (www.mathsbusking.com), de divulgação da Matemática nas ruas de diferentes localidades. Também desenvolve várias iniciativas junto de escolas.   

    A Dra. Sara Santos foi desafiada pela conhecida cadeia de lojas online da Amazon para desenvolver um método que permitisse poupar nos milhares de embrulhos feitos todos os anos pela empresa nas vizinhanças do Natal. Os responsáveis fizeram as contas e chegaram à conclusão que estavam a gastar por semana, em média, uma quantidade de papel suficiente para forrar todo o estádio de Wembley, em Londres, um dos maiores estádios do mundo! O método desenvolvido pela Dra. Sara Santos também permitiu baixar o custo do embrulho pago pelo consumidor.

    Então em que consiste este método inovador? Suponhamos que queremos embrulhar uma caixa com base quadrada (utilizou-se como exemplo a caixa que se vê nas figuras). Devemos proceder da seguinte forma: [A] Medir a diagonal do quadrado que constitui a base da caixa (no exemplo apresentado, esse valor é de 13,8 cm); [B] Medir a altura da caixa (10 cm); [C] Adicionar o comprimento da diagonal da base com a altura da caixa multiplicada por 1,5
(13,8+10x1,5 = 13,8+10+10/2 = 13,8+10+5 = 28,8); [D] Cortar um quadrado de papel de embrulho com 28,8 cm de lado.

    E é com este quadrado de papel que embrulhamos a nossa caixa, como mostram as figuras 1 a 5. De notar que a caixa deve ser posicionada no centro da folha de papel e na diagonal (por outras palavras, as diagonais do quadrado que forma a base da caixa e as diagonais do quadrado de papel devem formar entre si ângulos de 45 graus, como está ilustrado na figura 2). Juntam-se duas pontas opostas, podendo utilizar-se um pedaço de fita adesiva para segurar essas pontas (figura 3). Procede-se da mesma forma para as restantes duas pontas, tendo o cuidado de dobrar um pouco o papel, obtendo-se assim uma sobreposição de papel em dois lados da caixa (figura 4). Utiliza-se um segundo pedaço de fita adesiva. O resultado final está ilustrado na figura 5. Para os mais habilidosos, basta utilizar o último pedaço de fita adesiva, não sendo necessário aquele que se utilizou na figura 3. Para além de se poupar nos pedaços de fita adesiva, por haver pouca sobreposição de papel, este método inovador também permite poupar de forma significativa na quantidade de papel de embrulho.

    O mais curioso é que se utilizarmos um papel com linhas paralelas, como o da figura 1, obtemos algo fantástico depois do embrulho estar concluído: as linhas coincidem na perfeição nas zonas onde o papel se sobrepõe, como se pode visualizar na figura 5.

    Passamos à análise da figura 6. Destacam-se os quatro triângulos a cinzento, que correspondem às zonas onde há sobreposição de papel no decorrer da dobragem (figura 4). Estes triângulos são retângulos, ou seja, têm um ângulo reto. Além disso, cada um deles decompõe-se em dois triângulos retângulos mais pequenos, geometricamente iguais. A decomposição é determinada pela altura desses triângulos (observe os segmentos da figura com comprimento x). Se denotarmos por d o comprimento da diagonal da base da caixa e por h a sua altura, e se aplicarmos o conhecido Teorema de Pitágoras a esses triângulos, obtemos como comprimento do lado do quadrado de papel o seguinte valor: d mais h multiplicado por raiz de 2, uma dízima infinita não periódica aproximadamente igual a 1,4142. Daí que, por uma questão de simplificação, se opte pela fórmula d+hx1,5, pois 1,5 é um número próximo de 1,4142 e fácil de fixar.

    Este método também funciona para caixas com base retangular. Há apenas uma maior sobreposição de papel e não se consegue um aspeto tão agradável à vista com papel de embrulho constituído por linhas paralelas.

    Aproveite este método inovador para impressionar os seus familiares e amigos com embrulhos bonitos e económicos!

Ricardo Cunha Teixeira (Docente/investigador no Departamento de Matemática da U. dos Açores e colaborador no CcT)

Página pessoal do autor: www.rteixeira.uac.pt

Ver artigo original em: http://www.tribunadasilhas.pt/index.php/opiniao/item/9334-presentes-de-natal-com-matem%C3%A1tica

    Na primeira parte falei-vos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais, transcendentais e reais. Na segunda parte abordei os números imaginários, os complexos, os transfinitos, e os primos (mais as suas "sub-famílias").

    Será que os matemáticos se ficaram por aqui? É claro que não!

    Não querendo fazer uma enumeração exaustiva de todos os "tipos" de números, apresento-vos aqueles que creio também merecerem ser referidos:

• Números perfeitos são números (inteiros) cuja soma dos seus divisores (excluindo o próprio número) é igual ao próprio número. Por exemplo, 6 é divisível por 1, 2 e 3, e 1+2+3=6, pelo que 6 é um número perfeito. O número perfeito seguinte é o 28, como podem comprovar. Acrescento que Euclides definiu uma fórmula para obter números perfeitos, e Euler provou que essa fórmula gerava todos os números perfeitos pares (antes da demonstração de Euler não era claro se poderia haver outros números perfeitos pares que não fossem criados pela fórmula). Ainda não se conseguiu provar se existem números perfeitos ímpares, ou não. (Naturalmente, com a ajuda de computadores já se tentou encontrá-los sondando imensos números, no entanto nada se encontrou até hoje, o que indicia que não existam, porém é necessária uma prova matemática para o poder afirmar com certeza.)

• Números amigos são pares de números (naturais) em que a soma dos divisores de um deles, dá o outro (a relação é mútua). O par de números amigos mais reduzido é o 220 e o 284. Como é fácil de verificar, os divisores do 220 (excluindo o próprio) são o 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, e 110, os quais somados dão 284. Por sua vez, os divisores de 284 são o 1, 2, 4, 71, e 142, que somados dão 220.

    Em 850, Thabit ibn Qurra (826-901), matemático e astrónomo árabe, inventou uma fórmula a partir da qual se podem obter pares de números amigáveis. Contudo, a fórmula de Thabit não gera todos os números amigáveis, e sem outros métodos, trata-se de um processo difícil encontrá-los. Hoje conhecemos mais de 10 milhões de números amigáveis, mas apenas cerca de 5000 desses pares são constituídos por números inferiores a 30 mil milhões. Todos os pares de números amigáveis encontrados correspondem a dois números pares, ou a dois números ímpares. Nunca foi encontrado um par de números amigáveis que contenha um número par e um ímpar, sendo uma questão em aberto se tais números amigáveis existem.

•     Números normais - Para compreender o que são estes números, é preciso primeiro entender o que significa "normal" em Matemática. Remeto o leitor para o artigo A Estatística das Sondagens, onde explico o que é a distribuição Normal (também conhecida por distribuição de Gauss). Um número normal corresponde necessariamente a um número com infinitos dígitos (como uma dízima infinita). Para que este número seja considerado um número normal, é necessário que a frequência com que aparece cada um dos algarismos (de 0 a 9) seja a mesma. Isto é, nenhum algarismo pode aparecer mais que os outros.

    Este conceito foi proposto em 1909 por Émile Borel (1871-1956), matemático e político francês, que mostrou que quase todos os números reais são normais! Além disso, propôs a conjectura de que a constante pi (razão do perímetro pelo diâmetro de uma circunferência) é um número normal. Tem-se também conjecturado que a raiz quadrada de 2, o número de Euler (e), e o logaritmo de 2 são também números normais, mas os matemáticos ainda não conseguiram provar nada disto (ainda que, mais uma vez, cálculos computacionais mostrem indícios de que as conjecturas podem/ devem ser verdadeiras). Uma ideia apelativa é que se o pi é de facto um número normal, então é garantido que no meio da sua infinita sequência de algarismos aleatórios seja possível encontrar qualquer tipo de informação codificada, incluindo todos os códigos genéticos, ahistória da humanidade, todos os universos paralelos possíveis, tudo... (O problema seria naturalmente encontrar esses padrões no "meio" de uma sequência infinita de números: uma tarefa seguramente inviável.) (Basicamente, este tipo de ideia trata-se de uma aplicação do Teorema do Macaco Infinito, do qual já falei no artigo Paradoxos da Razão III.)

    Note-se que estamos a representar os números na base 10 (ver parte I). Será que se mudássemos de base, representando os números com um número diferente de algarismos, os novos algarismos apareceriam também com igual frequência? Não necessariamente. Se para um dado número normal isso acontecer, então chamamos-lhe "absolutamente normal". Provou-se em 2002 que a existência de números absolutamente normais é possível, falta, porém, conseguir definir um destes números. Em relação aos números "simplesmente normais", ou seja, que são normais apenas numa base, são conhecidos alguns exemplos.

    Dou por concluída a exposição dos diferentes conjuntos e "tipos" de números. Antes de passar a exibir as constantes "especiais" da Matemática, que ficará para a próxima parte, por uma questão de completude, ainda que um pouco fora de contexto, acrescento aqui a notação científica. Esta foi uma notação criada para lidar com números particularmente grandes ou pequenos, sem que tenhamos que escrever imensos algarismos redundantes que poderiam simplesmente tornar uma dada análise maçuda, aborrecida e pouco clara.

    Por exemplo, se procurarem a distância da Terra ao Sol no Google, encontram: 149.600.000 km. Como é evidente, esta não é a distância exacta entre a Terra e o Sol, que de resto varia ao longo do tempo, visto que a órbita não é circular. Trata-se de um número arredondado, e que em notação científica se representa como:

    Ou seja, fazemos "desaparecer" os zeros ao usarmos a multiplicação por uma potência de 10 (recordo que 10 com o expoente 8 é equivalente a escrever 10x10x ...x10 com 8 "dezes" na multiplicação; a imagem de cima poderá ajudar, caso não estejam familiarizados com a notação).

    A precisão (número de algarismos) exigida depende do contexto. Se quiserem comprar uma mesa vão-se preocupar com uma precisão até à escala do centímetro, em contraste se forem a conduzir irão encontrar informações com escalas de precisão da ordem do quilómetro.

    Se repararem, estes próprios nomes, "centímetro" e "quilómetro" são como que uma notação científica linguística (conhecida por notação de engenharia). Um quilómetro são 1000 metros, enquanto que um centímetro é um centésimo de um metro. Como já devem ter reparado, existem prefixos gerais que podem ser aplicados a outras grandezas físicas para lá das distâncias. A cada prefixo podemos associar a potência de 10 respectiva (muitos serão vossos conhecidos da informática):

exa- (trilião)

peta- (milhar de bilião)

tera- (bilião)

giga- (milhar de milhão)

mega- (milhão)

quilo- (milhar)

hecto- (centena)

deca- (dezena)

deci- (décimo)

centi- (centésimo)

mili- (milésimo)

micro- (milionésimo)

nano-

pico-

    A título de curiosidade acrescento que na verdade o caso da informática é excepcional, pois, por exemplo, 1 kB (quilobyte) = 1024 bytes e não 1000 bytes, isto porque os computadores usam um sistema binário. Ou seja, a base é 2, e por isso a potência usada é de 2 e não de 10. Assim, a correspondência com as potências de cima não se verifica na informática, onde, por exemplo, o quilo- corresponde a , em vez de .

Tradução: "Estou tão chateada!!" - "O que se passa?" - "Preciso de escrever 120000000000000000000000, mas o número é demasiado grande!" - "Whoa! Ah, já sei! Podes escrevê-lo usando notação científica! Fica apenas !" - "Wow! Isso é tão conveniente! Muito obrigada!" - "De nada! :)"

Marinho Lopes (colaborador do Ciência com Todos e doutor em Física pela U. de Aveiro) - texto primeiramente publicado no blog do autor: Sophia of Nature.

Ver original em: https://sophiaofnature.wordpress.com/2015/11/07/o-fascinio-dos-numeros-parte-iii/

    No artigo publicado no Tribuna das Ilhas no passado dia 15 de maio, exploraram-se alguns dos critérios de divisibilidade mais conhecidos. De fora ficaram os critérios de divisibilidade por 7 e por 11, por apresentarem características próprias que justificam um novo artigo dedicado a esses critérios.

    Recordamos que um número natural é um número inteiro positivo (1, 2, 3, 4, ...). Dizemos que um número natural é divisível por outro se, ao ser dividido por esse número, o resto for zero. Quando um número é divisível por outro, ele é múltiplo desse número (obtém-se adicionando várias vezes esse número). Por exemplo, 28 é divisível por 7, tendo-se 28=7+7+7+7=4x7. O poder de sistematização da Matemática volta a estar em evidência, uma vez que é possível representar todos os múltiplos inteiros de um determinado número natural numa única expressão. Por exemplo, os múltiplos de 7 são da forma 7k, sendo k um número inteiro (k= ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...). Por outras palavras, ao atribuir valores inteiros a k, obtemos os diferentes múltiplos de 7 (..., -28, -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, 28, ...).

    O 7 é o único número natural, de um só algarismo, que não tem um critério de divisibilidade simples. Este facto, que se traduz numa certa "desordem", tem fascinado muitos investigadores em Teoria dos Números. Foram descobertos vários critérios de divisibilidade por 7. Contudo, em termos de consumo de tempo, todos eles apresentam pouco diferença relativamente ao tradicional algoritmo da divisão. Convém não esquecer que a utilização de um critério de divisibilidade visa essencialmente averiguar a divisibilidade de um número por outro de forma expedita.

    Um dos mais antigos critérios de divisibilidade por 7 consiste em multiplicar os algarismos do número que pretendemos verificar se é divisível por 7 (da direita para a esquerda, começando pelo algarismo das unidades) sucessivamente por 1, 3, 2, 6, 4, 5, repetindo-se esta sequência de multiplicadores até percorrermos todos os algarismos do número. Em seguida, adicionam-se os produtos obtidos. O número em causa é divisível por 7 se e só se a soma obtida for um múltiplo de 7. Mais ainda, o resto da divisão do número por 7 coincide com o resto da divisão dessa soma por 7. Na figura, apresenta-se um exemplo em que se comprova que o número 65 833 250 é divisível por 7. Ao aplicar o procedimento explicado, obtemos 112=16x7, que é um múltiplo de 7. Em alternativa, podíamos aplicar o mesmo procedimento a 112, obtendo: 2x1=2; 1x3=3; 1x2=2; finalmente, adicionando os três valores, ficamos com 2+3+2=7, o que comprova que 112 é divisível por 7 e que, consequentemente, o número inicial também é divisível por 7. O procedimento explicado pode ser simplificado se formos "retirando setes", sempre que possível (como está ilustrado na figura). Nesse caso, obtemos 28=4x7, novamente um múltiplo de 7.

    Este critério de divisibilidade deriva do facto de as sucessivas potências de base 10 serem congruentes módulo 7 com 1, 3, 2, 6, 4, 5; 1, 3, 2, 6, 4, 5; ... (significa que as sucessivas potências de base 10 apresentam estes restos quando divididas por 7). De notar que as potências de base 10 são da forma: 10^0=1; 10^1=10; 10^2=10x10=100; 10^3=10x10x10=1000; ... Além disso, podemos escrever qualquer número (na base 10) utilizando estas potências. Por exemplo, 259=2x100+5x10+9x1. Ora, para averiguarmos se 259 é divisível por 7, podemos substituir na expressão anterior as potências de base 10 pelos seus restos da divisão por 7 (na verdade, podemos substituir uma potência de base 10 por qualquer número que seja congruente com essa potência módulo 7, ou seja, que tenha o mesmo resto quando dividido por 7). Obtemos a expressão: 2x2+5x3+9x1 (pois 2, 3 e 1 são os restos da divisão de, respetivamente, 100, 10 e 1 por 7). E, assim, se explica este critério de divisibilidade (no exemplo, ficamos com 4+15+9=28, pelo que 259 é divisível por 7).

    Este tipo de raciocínio está na base de outros critérios de divisibilidade. Por exemplo, para o critério de divisibilidade por 9 (talvez o mais famoso de todos os critérios de divisibilidade), como o resto da divisão de qualquer potência de base 10 por 9 é igual a 1, para verificarmos se um número é divisível por 9 basta adicionarmos os seus algarismos e averiguarmos se a soma obtida é ainda um múltiplo de nove. Utilizando o mesmo exemplo (259=2x100+5x10+9x1) e substituindo as potências de base 10 pelos seus restos da divisão por 9, obtemos 2x1+5x1+9x1=2+5+9=16. E, assim, se comprova que este número não é divisível por 9, pois 16 não é divisível por 9.

    Podemos aplicar este tipo de raciocínio para obter critérios de divisibilidade para outros números. Vejamos o que acontece com o número 11. Como as potências de base 10 são congruentes módulo 11 com a sequência 1, -1, 1, -1, ..., obtemos um conhecido critério de divisibilidade por 11: da direita para a esquerda, vamos adicionando e subtraindo alternadamente os algarismos do número a analisar (começando com o algarismo das unidades); o resultado obtido deverá ser um múltiplo de 11. Por exemplo, será que o número 259 é divisível por 11? Tem-se 9-5+2=6; como 6 não é um múltiplo de 11, então também 259 não é um múltiplo de 11. Vejamos outro exemplo: será que 104 302 é um múltiplo de 11? Tem-se 2-0+3-4+0-1=0. Como 0 é um múltiplo de 11, também 104 302 é um múltiplo de 11. 

    Terminamos com outro critério de divisibilidade por 7, bastante curioso. Este critério é apresentado num artigo de D. Spence, publicado em 1956, na revista The Mathematical Gazette. Pensa-se que a sua origem remonta a 1861, sendo da autoria de A. Zbikovski. A ideia é simples:remove-se o algarismo das unidades do número a estudar; subtrai-se o dobro do algarismo das unidades do novo número obtido; repete-se este procedimento até ficarmos com um número de um só algarismo. O número inicial é um múltiplo de 7 se e só se o valor obtido for 0 ou 7. Por exemplo, considere-se o 259. Tem-se 25-2x9=7; logo, 259 é divisível por 7. Outro exemplo: será 6481 divisível por 7? Tem-se: 648-2x1=646; 64-2x6=52; 5-2x2=1; logo, 6481 não é divisível por 7.

    Podemos considerar um critério de divisibilidade análogo para o 11; a única diferença é que subtraímos apenas o algarismo das unidades e não o seu dobro. No final, devemos obter 0. Por exemplo, 104 302 é divisível por 11, pois 10 430-2=10 428; 1042-8=1034; 103-4=99; 9-9=0. 

Ricardo Cunha Teixeira (Docente/investigador no Departamento de Matemática da U. dos Açores e colaborador no CcT)

Página pessoal do autor: www.rteixeira.uac.pt

Ver artigo original em: http://www.tribunadasilhas.pt/index.php/opiniao/item/10423-crit%C3%A9rios-de-divisibilidade-por-7-e-por-11

    Martin Gardner (1914-2010) foi um excelente divulgador de Matemática Recreativa. Durante mais de 25 anos escreveu uma coluna intitulada "Jogos Matemáticos" para a Scientific American, revista americana de divulgação científica. Escreveu também com regularidade para a revista Skeptical Inquirer e foi autor de mais de 70 obras. O seu trabalho inspirou centenas de leitores a apreciar e a querer saber mais sobre o vasto mundo da Matemática. Gardner é conhecido por apresentar interessantes enigmas e desafios matemáticos. Neste texto, analisamos três problemas da sua autoria.

    Problema 1: "Nove cartas de um baralho de cartas, com valores diferentes, do um (Ás) ao nove (9), são misturadas dentro de um chapéu. Em seguida, retiram-se as nove cartas, uma a uma, e alinham-se as cartas ao longo de uma fila, à medida que são retiradas, de modo a formar um número com nove algarismos. Qual é a probabilidade de o número obtido ser divisível por 9?" (ver um exemplo na figura 1).

    Problema 2: "E se repetirmos o mesmo procedimento, mas agora com quatro cartas, com valores diferentes, do um (Ás) ao quatro (4), qual é a probabilidade de o número obtido ser divisível por 3?" (ver um exemplo na figura 2).

    Problema 3:  "Finalmente, se repetirmos o procedimento explicado, utilizando cinco cartas, com valores diferentes, do um (Ás) ao cinco (5), qual é a probabilidade de o número obtido ser divisível por 3?" (ver um exemplo na figura 3).

    À primeira vista, o leitor pode pensar que a resolução destes problemas requer cálculos muito sofisticados, mas a verdade é que o poder de sistematização da Matemática permite-nos, muitas vezes, ultrapassar com facilidade situações que parecem de difícil resolução.

    O segredo para uma rápida resposta a estes problemas reside no conhecimento dos critérios de divisibilidade por 3 e por 9. Aproveitamos, por isso, a oportunidade para rever alguns dos principais critérios de divisibilidade. Como forma de testar a informação que apresentaremos de seguida, o leitor pode socorrer-se de um número com vários algarismos que tenha à mão. Nos exemplos abaixo, utilizaremos o ISBN-13 do livro "Grupos de Simetria: Identificação de Padrões no Património Cultural dos Açores", publicado recentemente pela Associação Ludus e pela Apenas Livros, da autoria conjunta de Ricardo Teixeira, Susana Costa e Vera Moniz. O número é o seguinte: 9 789 896 185 039.

    No que se segue, vamos considerar apenas números naturais, ou seja, números inteiros positivos (1, 2, 3, 4, ...). Diz-se que a é divisível por b, que b divide a ou, ainda, que a é um múltiplo de b, se a se obtém adicionando b um determinado número de vezes (por outras palavras, o resto da divisão de a por b é igual a 0). Por exemplo, 12 é divisível por 4, pois 12=4+4+4=3x4.

    Critério de divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 se e só se o seu algarismo das unidades for par. Exemplo: 9 789 896 185 039 não é divisível por 2 pois o algarismo das unidades (9) é ímpar.

    Critério de divisibilidade por 3: Adicionam-se todos os algarismos de um número. Se o resultado for um número com mais de um algarismo, repete-se o processo, até obter um número com um só algarismo, que se designa por raiz digital do número inicial.  Um número é divisível por 3 se e só se a sua raiz digital for 3, 6 ou 9. Exemplo: 9 789 896 185 039 não é divisível por 3 pois, ao adicionarmos todos os seus algarismos, obtemos 82; em seguida, ficamos com 8+2=10 e 1+0=1, pelo que a sua raiz digital é igual a 1.

    Critério de divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 se e só se o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 4. Exemplo: 9 789 896 185 039 não é divisível por 4 pois 39 não é divisível por 4 (36=9x4 e 40=10x4).

    Critério de divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 se e só se o seu algarismo das unidades for 0 ou 5.
Exemplo: 9 789 896 185 039 não é divisível por 5 pois o algarismo das unidades (9) é diferente de 0 e de 5.

    Critério de divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 se e só se cumprir em simultâneo os critérios de divisibilidade por 2 e por 3. Exemplo: 9 789 896 185 039 não é divisível por 6 pois não é divisível por 2 (nem por 3).

    Critério de divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 se e só se o número formado pelos seus três últimos algarismos for divisível por 8. Exemplo: 9 789 896 185 039 não é divisível por 8 pois 039=39 não é divisível por 8 (32=4x8 e 40=5x8).

    Critério de divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 se e só se a sua raiz digital for igual a 9. Exemplo: 9 789 896 185 039 não é divisível por 9 pois a sua raiz digital é igual a 1.

    Critério de divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 se e só se o seu algarismo das unidades for 0. Exemplo: 9 789 896 185 039 não é divisível por 10 pois o algarismo das unidades (9) é diferente de 0.

    Numa próxima oportunidade, abordaremos outros critérios de divisibilidade. Para já, os critérios analisados permitem responder em poucas linhas aos três problemas apresentados.

Problema 1: A probabilidade é de 100%, pois 1+2+...+9=45 e a raiz digital de 45 é 9.

Problema 2: A probabilidade é de 0%, pois 1+2+3+4=10 e a raiz digital de 10 é 1.

Problema 3: A probabilidade é de 100%, pois 1+2+3+4+5=15 e a raiz digital de 15 é 6.

    O leitor pode mesmo aproveitar para aplicar estes critérios de divisibilidade e fazer um brilharete junto de familiares e amigos. Por exemplo, pode virar-se de costas e pedir a um amigo que construa uma sequência de 5 cartas, utilizando cartas numeradas do Ás ao 5, pela ordem que bem entender; sem ver a sequência formada, a sua "intuição de mágico" dar-lhe-á a certeza de que o número é divisível por 3!

Ricardo Cunha Teixeira (Docente/investigador no Departamento de Matemática da U. dos Açores e colaborador no CcT)

Página pessoal do autor: www.rteixeira.uac.pt

Ver artigo original em: https://repositorio.uac.pt/bitstream/10400.3/3435/1/Ricardo%20C%20Teixeira%20A65.pdf